Znaleźć prostą, która...

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
isio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 15 lis 2008, o 15:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gorzów
Podziękował: 21 razy

Znaleźć prostą, która...

Post autor: isio »

treść zadania: Znaleźć prostą, która przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ Q=(4,-1,0)}\) i jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ L: \frac{x}{3} = \frac{y-2}{2} = \frac{2+4}{0}}\)

Wiem, ze zeby znaleźć jakąkolwiek prostą musze znaleźć jej punkt (ten mam podany w tresći zadania) oraz wektor.

Pozostaje więc tylko wektor, wiem ze ma być on równoległy do wektora \(\displaystyle{ v=[3,2,0]}\) czyli nasz wektor to \(\displaystyle{ i=k[3,2,0]}\) i nie wiem co dalej z tym zrobic?
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Znaleźć prostą, która...

Post autor: Crizz »

Chyba żle przepisałeś równanie, bo dzielisz przez 0. W każdym razie, przyjmę, że twoje równanie prostej ma postać:
\(\displaystyle{ \frac{x}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+4}{1}}\)

Wszystkie proste o równaniu
\(\displaystyle{ \frac{x-x_{0}}{3}=\frac{y-y_{0}}{2}=\frac{z-z_{0}}{1}}\)
są do równoległe do twojej prostej (bo współrzędne wektora kierunkowego \(\displaystyle{ [3,2,1]}\) prostej odczytujesz z kolejnych mianowników - w powyższym równaniu są takie same, jak w pierwotnym). Ponadto prosta opisana takim równaniem przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0},z_{0})}\) (zauważ, że jesli wstawisz współrzędne tego punktu do równania to otrzymasz \(\displaystyle{ 0=0=0}\), czyli równanie prostej będzie spełnione). Zatem wystarczy pod liczby \(\displaystyle{ x_{0},y_{0},z_{0}}\) podstawić współrzędne punktu Q:
\(\displaystyle{ \frac{x-4}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1}}\)
i otrzymane równanie opisuje szukaną prostą.

Jeśli koniecznie chcesz znaleźć szukane równanie prostej, korzystając z wektora kierunkowego i punktu, to przykładowym wektorem kierunkowym szukanej prostej jest już wektor \(\displaystyle{ \vec{v}=[3,2,1]}\) (jako równoległy do szukanej prostej), nie musisz szukać jakichś dodatkowych warunków. Jak masz dany punkt \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0},z_{0})}\) i wektor kierunkowy \(\displaystyle{ [a,b,c]}\), to możesz już zapisać równanie prostej w postaci parametrycznej jako:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=x_{0}+at \\ y=y_{0}+bt \\ z=z_{0}+ct \end{cases}}\)
albo w postaci ogólnej jako:
\(\displaystyle{ \frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}}\)
o ile oczywiście \(\displaystyle{ a,b,c \neq 0}\) - w przeciwnym razie nie da się zapisać równania prostej w ogólnej postaci.
ODPOWIEDZ