Wyznacz równanie okręgu stycznego do prostej l: 2x+y-18=0 i k: 2x+y+2=0 oraz przechodzącego przez punkt (1,0). Znajdź równanie obrazu tego okręgu :
a) w translacji o wektor \(\displaystyle{ \vec{v}=[-1,5]}\)
b) w symetrii względem prostej p: y-2x=0
Jeżeli może ktoś zrobić to zadanie krok po kroku z wytłumaczeniem... byłabym wdzięczna
proste, równanie okręgu
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
proste, równanie okręgu
Wyznaczmy najpierw promień \(\displaystyle{ r}\) danego okręgu.
Zauważmy, że dwie dane proste są równoległe, mają one bowiem równania kierunkowe postaci \(\displaystyle{ y=-2x+18,\ y=-2x-2}\) i widać z ich postaci, że równe są współczynniki kierunkowe.
Odległość między tymi prostymi to dokładnie średnica okręgu stycznego do tych prostych.
Można by teraz zastosować wzór na odległość prostych równoległych, ale postąpimy nieco inaczej. Odległość dwóch prostych jest równa odległości dowolnego punktu na jednej z nich od drugiej prostej.
Obierzmy dowolny punkt na jednej z prostych, np. \(\displaystyle{ (-1,0)}\) na drugiej prostej. Ze wzoru na odległość punktu od prostej mamy
Co więcej, środek \(\displaystyle{ S=(a,b)}\) okręgu jest równoodległy od każdej z danych prostych, więc leży na prostej do nich równoległej o równaniu \(\displaystyle{ 2x+y-8=0}\). Zatem \(\displaystyle{ 2a+b-8=0}\).
Z założenia mamy ponadto, że punkt \(\displaystyle{ (1,0)}\) leży na okręgu. Wobec tego \(\displaystyle{ (1-a)^2+(0-b)^2=r^2}\), tj. \(\displaystyle{ (a-1)^2+b^2=20}\).
Rozwiązując układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} 2a+b-8=0 \\ (a-1)^2+b^2=20 \end{cases}}\) otrzymujemy łatwo \(\displaystyle{ (a,b)=(\frac{9}{5},\frac{22}{5})}\) lub \(\displaystyle{ (a,b)=(5,-2)}\).
Wnioskujemy stąd, że istnieją dwa okręgi spełniające warunki zadania - można się o tym przekonać wykonując rysunek w układzie współrzędnych.
Ich równania są następujące: \(\displaystyle{ (x-\frac{9}{5})^2+(y-\frac{22}{5})^2=20}\), \(\displaystyle{ (x-5)^2+(y+2)^2=20}\).
a) W translacji uzyskamy okrąg o tym samym promieniu, lecz o innym środku \(\displaystyle{ S'}\). Wystarczy przesunąć punkt \(\displaystyle{ S}\) o dany wektor \(\displaystyle{ \vec{v}}\). Zatem \(\displaystyle{ S'=(\frac{9}{5}+1,\frac{22}{5}-5)=(\frac{14}{5},-\frac{3}{5})}\) - dla pierwszego z otrzymanych okręgów oraz \(\displaystyle{ S'=(5+1,-2-5)=(6,-7)}\) - dla drugiego z nich. W konsekwencji okręgi po przesunięciu mają równania \(\displaystyle{ (x-\frac{14}{5})^2+(y+\frac{3}{5})^2=20}\) oraz \(\displaystyle{ (x-6)^2+(y+7)^2=20}\), odpowiednio.
Zauważmy, że dwie dane proste są równoległe, mają one bowiem równania kierunkowe postaci \(\displaystyle{ y=-2x+18,\ y=-2x-2}\) i widać z ich postaci, że równe są współczynniki kierunkowe.
Odległość między tymi prostymi to dokładnie średnica okręgu stycznego do tych prostych.
Można by teraz zastosować wzór na odległość prostych równoległych, ale postąpimy nieco inaczej. Odległość dwóch prostych jest równa odległości dowolnego punktu na jednej z nich od drugiej prostej.
Obierzmy dowolny punkt na jednej z prostych, np. \(\displaystyle{ (-1,0)}\) na drugiej prostej. Ze wzoru na odległość punktu od prostej mamy
\(\displaystyle{ 2r=\frac{|2\cdot(-1)+1\cdot 0-18|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{20}{\sqrt{5}}=4\sqrt{5}}\),
skąd \(\displaystyle{ r=2\sqrt{5}}\).Co więcej, środek \(\displaystyle{ S=(a,b)}\) okręgu jest równoodległy od każdej z danych prostych, więc leży na prostej do nich równoległej o równaniu \(\displaystyle{ 2x+y-8=0}\). Zatem \(\displaystyle{ 2a+b-8=0}\).
Z założenia mamy ponadto, że punkt \(\displaystyle{ (1,0)}\) leży na okręgu. Wobec tego \(\displaystyle{ (1-a)^2+(0-b)^2=r^2}\), tj. \(\displaystyle{ (a-1)^2+b^2=20}\).
Rozwiązując układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} 2a+b-8=0 \\ (a-1)^2+b^2=20 \end{cases}}\) otrzymujemy łatwo \(\displaystyle{ (a,b)=(\frac{9}{5},\frac{22}{5})}\) lub \(\displaystyle{ (a,b)=(5,-2)}\).
Wnioskujemy stąd, że istnieją dwa okręgi spełniające warunki zadania - można się o tym przekonać wykonując rysunek w układzie współrzędnych.
Ich równania są następujące: \(\displaystyle{ (x-\frac{9}{5})^2+(y-\frac{22}{5})^2=20}\), \(\displaystyle{ (x-5)^2+(y+2)^2=20}\).
a) W translacji uzyskamy okrąg o tym samym promieniu, lecz o innym środku \(\displaystyle{ S'}\). Wystarczy przesunąć punkt \(\displaystyle{ S}\) o dany wektor \(\displaystyle{ \vec{v}}\). Zatem \(\displaystyle{ S'=(\frac{9}{5}+1,\frac{22}{5}-5)=(\frac{14}{5},-\frac{3}{5})}\) - dla pierwszego z otrzymanych okręgów oraz \(\displaystyle{ S'=(5+1,-2-5)=(6,-7)}\) - dla drugiego z nich. W konsekwencji okręgi po przesunięciu mają równania \(\displaystyle{ (x-\frac{14}{5})^2+(y+\frac{3}{5})^2=20}\) oraz \(\displaystyle{ (x-6)^2+(y+7)^2=20}\), odpowiednio.