Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt A(-1,1), która jest nachylona do osi 0X pod kątem ostrym i z prostymi x=0 i y=0 ogranicza trójkąt o polu równym \(\displaystyle{ \frac{8}{3}}\).
Proszę o wskazówki jak się do tego zabrać. Wiem, że aby wyznaczyć równanie prostej muszę wyliczyć a i b. Można to zrobić znajdując jakiś drugi punkt należący do tej prostej i zrobić układ równań. Nie wiem tylko jak. Kombinuję jak tu wykorzystać to podane polę, ale nie wiem do czego je podstawić, żeby coś wyliczyć.
rownanie prostej
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
rownanie prostej
Miejsca przecięć osi:
\(\displaystyle{ f(x)=ax+b \\
x=0 \\
f(x)=b \\
X0=(0,b) \\
f(x)=ax+b \\
f(x)=0 \\
\\
x=\frac{-b}{a} \\
\\
Y0=(\frac{-b}{a},0)}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ f(-1)=1 \\
\begin{cases} b-a=1 \quad \mbox{zeby prosta przechodzila przez punkt (-1,1)} \\ \frac{b \cdot \frac{-b}{a}}{2}=\frac{8}{3} \quad \mbox{pole trojkata prostokatnego ograniczonego prosta i osiami} \end{cases}}\)
Z tego układu równań liczysz \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) i podstawiasz do wzoru \(\displaystyle{ f(x)=ax+b}\)
\(\displaystyle{ f(x)=ax+b \\
x=0 \\
f(x)=b \\
X0=(0,b) \\
f(x)=ax+b \\
f(x)=0 \\
\\
x=\frac{-b}{a} \\
\\
Y0=(\frac{-b}{a},0)}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ f(-1)=1 \\
\begin{cases} b-a=1 \quad \mbox{zeby prosta przechodzila przez punkt (-1,1)} \\ \frac{b \cdot \frac{-b}{a}}{2}=\frac{8}{3} \quad \mbox{pole trojkata prostokatnego ograniczonego prosta i osiami} \end{cases}}\)
Z tego układu równań liczysz \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) i podstawiasz do wzoru \(\displaystyle{ f(x)=ax+b}\)
rownanie prostej
Wielkie dzięki za wskazówki. Licząc ten układ równań w taki sposób:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{-b^{2}}{2a}= \frac{8}{3} \\ a=b-1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3b^{2}=16b-16 \Rightarrow -3b^{2}-16b+16=0\\a=b-1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ delta=256+192=448=8 \sqrt{7}}\)
\(\displaystyle{ b_{1}= \frac{16-8 \sqrt{7}}{-6}}\) \(\displaystyle{ b_{2}= \frac{16+8 \sqrt{7}}{-6}}\)
No i z tego wychodzi, że oba warianty są ujemne, a przecież z wykres tej funkcji wynika, że b>0.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{-b^{2}}{2a}= \frac{8}{3} \\ a=b-1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3b^{2}=16b-16 \Rightarrow -3b^{2}-16b+16=0\\a=b-1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ delta=256+192=448=8 \sqrt{7}}\)
\(\displaystyle{ b_{1}= \frac{16-8 \sqrt{7}}{-6}}\) \(\displaystyle{ b_{2}= \frac{16+8 \sqrt{7}}{-6}}\)
No i z tego wychodzi, że oba warianty są ujemne, a przecież z wykres tej funkcji wynika, że b>0.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
rownanie prostej
Hmm... Jeśli ten trójkąt MUSI znajdować się w II ćwiartce, to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b-a=1 \\ \frac{b \cdot \frac{-b}{a} }{2}=- \frac{8}{3} \end{cases}}\)
gdyż jedna ze współrzędnych będzie ujemna, czyli "pole będzie ujemne". To, co policzyłeś, to trójkąty dla I i III ćwiartki. :] Wszystko zależy od tego, czy trójkąt musi być w II ćwiartce czy nie.
P.S. Dla II ćwiartki wychodzą 2 rozwiązania, z których jedno jest odwrotnością drugiego, gdyż to bez znaczenia, czy dłuższy bok będzie na osi X czy na osi Y - wykresy funkcji tych dwóch rozwiązań będą symetryczne względem prostej \(\displaystyle{ g(x)=-x}\), która przechodzi i przez punkt (-1,1) i przez początek układu współrzędnych.
\(\displaystyle{ \begin{cases} b-a=1 \\ \frac{b \cdot \frac{-b}{a} }{2}=- \frac{8}{3} \end{cases}}\)
gdyż jedna ze współrzędnych będzie ujemna, czyli "pole będzie ujemne". To, co policzyłeś, to trójkąty dla I i III ćwiartki. :] Wszystko zależy od tego, czy trójkąt musi być w II ćwiartce czy nie.
P.S. Dla II ćwiartki wychodzą 2 rozwiązania, z których jedno jest odwrotnością drugiego, gdyż to bez znaczenia, czy dłuższy bok będzie na osi X czy na osi Y - wykresy funkcji tych dwóch rozwiązań będą symetryczne względem prostej \(\displaystyle{ g(x)=-x}\), która przechodzi i przez punkt (-1,1) i przez początek układu współrzędnych.