Oblicz współrzędne punktu wspólnego wysokości trójkąta (tzw. ortocentrum) o wierzchołkach \(\displaystyle{ \ A(-3,4),\ \ B(1,-4), \ \ C(4,5)}\)
Za rozwiązanie tego zadania można otrzymać:
a) 4 punkty za równania prostych zawierających wysokości (czy do rozwiązania zadania konieczne jest wszystkich wysokości?)
b) 2 punkty za obliczenie współrzędnych ortocentrum.
W pkt. A to wiem, że wystarczą dwie, ale na tym moja matematyczna spostrzegawczość się kończy. Proszę o pomoc!
Oblicz współrzędne punktu...
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Oblicz współrzędne punktu...
najpierw obliczasz wzór prostej, do której należy odcinek AB. W tym celu wykorzystujesz wzór na równanie prostej przechodzącej przez 2 dane punkty.
Wyjdzie Ci jakiś wzór, który przedstawiasz w postaci \(\displaystyle{ y = a _{1} x+b}\)
Szukasz teraz takiej prostej, by była ona prostopadła do AB i przechodziła przez punkt C(4,5).
Wiadomo, że ta prosta ma postać \(\displaystyle{ y = a _{2} x+b}\). Znasz \(\displaystyle{ a _{1}}\), więc szukasz takiego \(\displaystyle{ a _{2}}\), by \(\displaystyle{ a _{1}*a _{2} = -1}\). (warunek prostopadłości prostych)
Znasz już \(\displaystyle{ a _{2}}\), więc pozostaje Ci do równania prostej zawierającej wysokość CD , czyli \(\displaystyle{ y = a _{2} x+b}\)podstawić za x=4, a za y=5 (współrzędne punktu C) i w ten sposób obliczysz współczynnik b prostej, a tym samym będziesz znać całe równanie prostej zawierającej wysokość CD (czyli krótko prostej CD).
Analogicznie z odcinkiem BC (wzór na prostą zawierającą ten odcinek), potem szukasz prostej prostopadłej, a1 * a2 = -1 itd. Schemat ten sam.
Jak już masz równania dwóch prostych, to rozwiązujesz układ równań z równań tych prostych. Rozwiązaniem tego układu będzie ten punkt przecięcia wysokości, o który chodzi w zadaniu.
(czy do rozwiązania zadania konieczne jest wszystkich wysokości?)
Nie jest konieczne, wystarczy obliczenie dwóch prostych.
Wyjdzie Ci jakiś wzór, który przedstawiasz w postaci \(\displaystyle{ y = a _{1} x+b}\)
Szukasz teraz takiej prostej, by była ona prostopadła do AB i przechodziła przez punkt C(4,5).
Wiadomo, że ta prosta ma postać \(\displaystyle{ y = a _{2} x+b}\). Znasz \(\displaystyle{ a _{1}}\), więc szukasz takiego \(\displaystyle{ a _{2}}\), by \(\displaystyle{ a _{1}*a _{2} = -1}\). (warunek prostopadłości prostych)
Znasz już \(\displaystyle{ a _{2}}\), więc pozostaje Ci do równania prostej zawierającej wysokość CD , czyli \(\displaystyle{ y = a _{2} x+b}\)podstawić za x=4, a za y=5 (współrzędne punktu C) i w ten sposób obliczysz współczynnik b prostej, a tym samym będziesz znać całe równanie prostej zawierającej wysokość CD (czyli krótko prostej CD).
Analogicznie z odcinkiem BC (wzór na prostą zawierającą ten odcinek), potem szukasz prostej prostopadłej, a1 * a2 = -1 itd. Schemat ten sam.
Jak już masz równania dwóch prostych, to rozwiązujesz układ równań z równań tych prostych. Rozwiązaniem tego układu będzie ten punkt przecięcia wysokości, o który chodzi w zadaniu.
(czy do rozwiązania zadania konieczne jest wszystkich wysokości?)
Nie jest konieczne, wystarczy obliczenie dwóch prostych.
-
darlove
- Użytkownik
- Posty: 218
- Rejestracja: 20 gru 2007, o 12:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Londyn
- Pomógł: 39 razy
Oblicz współrzędne punktu...
Wyobraz sobie trojkat w ukladzie wspolrzednych (najlepiej sobie rysuj, jak czytasz). Powiedzmy, ze chcesz znalezc prosta, ktora zawiera wysokosc opuszczona z punktu \(\displaystyle{ A}\) na bok \(\displaystyle{ BC}\). Poniewaz prosta ta (a i owa wysokosc tez) musi przecinac prosta, na ktorej lezy bok \(\displaystyle{ BC}\) pod katem prostym, wiec znajdz najpierw wektor niezerowy, ktory jest prostopadly do wektora \(\displaystyle{ \vec{BC}}\). Jak znalezc taki wektor? Otoz, jesli dwa wektory sa prostopadle, to ich iloczyn skalarny jest 0. Zatem, jesli masz \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\), to ich iloczyn bedzie rowny \(\displaystyle{ a_xb_x+a_yb_y}\). Teraz, poniewaz masz tylko jeden wektor dany, a drugi ma dwie wspolrzedne, to masz jedno rownanie z dwiema niewiadomymi, powiedzmy, ze \(\displaystyle{ \vec{b}}\) jest szukany \(\displaystyle{ [b_x,b_y]}\). Ale sprawa jest prosta. Dobierz po prostu dwe liczby, obie nierowne zero jednoczesnie, tak, aby rownanie bylo spelnione. To jest zawsze mozliwe. Dlaczego? Ano dlatego, ze z zalozenia dany wektor \(\displaystyle{ \vec{a}}\) nie jest zerowy, a wiec np. \(\displaystyle{ a_x\not =0}\). Teraz, za \(\displaystyle{ b_y}\) wstaw \(\displaystyle{ 1}\) i dostajesz: \(\displaystyle{ a_xb_x+a_y\cdot 1=0}\), a z tego juz latwo obliczyc, ze \(\displaystyle{ b_x=\frac{-a_y}{a_x}}\) (bo \(\displaystyle{ a_x}\) nie jest 0). Podobnie rzecz sie ma, gdy \(\displaystyle{ a_y}\) nie jest zerem. Dobra. Z tego wynika, ze mozna spokojnie znalezc wektor prostopadly do wektora \(\displaystyle{ \vec{BC}}\). Jak go juz masz, to rownanie prostej to pestka. Otoz, prosta, ktora przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A}\) i jest rownolegla do wektora, ktory znalezlismy (prostopadlego do \(\displaystyle{ \vec{BC}}\)) wyraza sie wzorem:
\(\displaystyle{ \vec{r}(t)=\vec{A}+\vec{r}_{\perp}\cdot t}\), gdzie \(\displaystyle{ \vec{r}_{\perp}}\) to wektor prostopadly do \(\displaystyle{ \vec{BC}}\), ktory poprzednio znalezlismy. Rozpisze to rownanie (parametryczne):
\(\displaystyle{ (x(t),y(t))=(A_x,A_y)+((r_{\perp})_x,(r_{\perp})_y)\cdot t=(A_x+(r_{\perp})_x\cdot t,A_y+(r_{\perp})_y\cdot t)}\).
Z tego wynika, ze
\(\displaystyle{ x=A_x+(r_{\perp})_x\cdot t\\
y=A_y+(r_{\perp})_y\cdot t}\)
Czyli
\(\displaystyle{ t=\frac{x-A_x}{(r_{\perp})_x}\\
t=\frac{y-A_y}{(r_{\perp})_y}}\),
A z tego dostajemy rownanie prostej w postaci odcinkowej,
\(\displaystyle{ \frac{x-A_x}{(r_{\perp})_x}=\frac{y-A_y}{(r_{\perp})_y}}\).
Jesli \(\displaystyle{ (r_{\perp})_x = 0}\) lub \(\displaystyle{ (r_{\perp})_y = 0}\), to rownanie i tak ma sens, mimo ze dzielimy przez \(\displaystyle{ 0}\).
Jest to dzielenie formalne, a nie rzeczywiste. Aby dostac zwyczajowa postac prostej, wystarczy powyzsze rownanie rozwiazac wzgledem \(\displaystyle{ x}\) lub \(\displaystyle{ y}\), zaleznie od tego, ktore \(\displaystyle{ (r_{\perp})_{\star}}\) jest zerem.
Dobra, czas wreszcie wykorzystac nasza wiedze. Jak widac, wszystko zalezy od znalezienia wektora prostopadlego do \(\displaystyle{ \vec{BC}}\). Znajdziemy jego wspolrzedne. \(\displaystyle{ \vec{BC}=(C_x-B_x,C_y-B_y)=(4-1,5-(-4))=(3,9)}\). Teraz czas na wspolrzedne wektorka prostopadlego do \(\displaystyle{ \vec{BC}}\). Poniewaz zadna wspolrzedna \(\displaystyle{ \vec{BC}}\) nie jest \(\displaystyle{ 0}\), wiec przyjmiemy, ze \(\displaystyle{ \vec{r}_{\perp}=(\xi,1)}\) (mozna tez odwrotnie \(\displaystyle{ \vec{r}_{\perp}=(1,\xi)}\)) i obliczymy \(\displaystyle{ \xi}\) z iloczynu skalarnego:
\(\displaystyle{ \vec{BC}\cdot\vec{r}_{\perp}=3\cdot\xi+9\cdot 1=0}\).
Z tego dostajemy ow wektorek \(\displaystyle{ \vec{r}_{\perp}=(-3,1)}\). A zatem nasza prosta ma postac
\(\displaystyle{ \frac{x-(-3)}{-3}=\frac{y-4}{1}}\).
Rozwiazujac wzgledem y dostajesz
\(\displaystyle{ y=\frac{-1}{3}\,x+3}\).
Dokladnie tak samo postepujesz, aby znalezc dwie pozostale proste. Zmieniaja sie jedynie punkty i wektory. Jak masz juz te proste, to rozwiazujesz uklad rownan zlozony z dwoch dowolnych prostych i otrzymujesz punkt przeciecia, czyli ortocentrum. Latwe.
\(\displaystyle{ \vec{r}(t)=\vec{A}+\vec{r}_{\perp}\cdot t}\), gdzie \(\displaystyle{ \vec{r}_{\perp}}\) to wektor prostopadly do \(\displaystyle{ \vec{BC}}\), ktory poprzednio znalezlismy. Rozpisze to rownanie (parametryczne):
\(\displaystyle{ (x(t),y(t))=(A_x,A_y)+((r_{\perp})_x,(r_{\perp})_y)\cdot t=(A_x+(r_{\perp})_x\cdot t,A_y+(r_{\perp})_y\cdot t)}\).
Z tego wynika, ze
\(\displaystyle{ x=A_x+(r_{\perp})_x\cdot t\\
y=A_y+(r_{\perp})_y\cdot t}\)
Czyli
\(\displaystyle{ t=\frac{x-A_x}{(r_{\perp})_x}\\
t=\frac{y-A_y}{(r_{\perp})_y}}\),
A z tego dostajemy rownanie prostej w postaci odcinkowej,
\(\displaystyle{ \frac{x-A_x}{(r_{\perp})_x}=\frac{y-A_y}{(r_{\perp})_y}}\).
Jesli \(\displaystyle{ (r_{\perp})_x = 0}\) lub \(\displaystyle{ (r_{\perp})_y = 0}\), to rownanie i tak ma sens, mimo ze dzielimy przez \(\displaystyle{ 0}\).
Jest to dzielenie formalne, a nie rzeczywiste. Aby dostac zwyczajowa postac prostej, wystarczy powyzsze rownanie rozwiazac wzgledem \(\displaystyle{ x}\) lub \(\displaystyle{ y}\), zaleznie od tego, ktore \(\displaystyle{ (r_{\perp})_{\star}}\) jest zerem.
Dobra, czas wreszcie wykorzystac nasza wiedze. Jak widac, wszystko zalezy od znalezienia wektora prostopadlego do \(\displaystyle{ \vec{BC}}\). Znajdziemy jego wspolrzedne. \(\displaystyle{ \vec{BC}=(C_x-B_x,C_y-B_y)=(4-1,5-(-4))=(3,9)}\). Teraz czas na wspolrzedne wektorka prostopadlego do \(\displaystyle{ \vec{BC}}\). Poniewaz zadna wspolrzedna \(\displaystyle{ \vec{BC}}\) nie jest \(\displaystyle{ 0}\), wiec przyjmiemy, ze \(\displaystyle{ \vec{r}_{\perp}=(\xi,1)}\) (mozna tez odwrotnie \(\displaystyle{ \vec{r}_{\perp}=(1,\xi)}\)) i obliczymy \(\displaystyle{ \xi}\) z iloczynu skalarnego:
\(\displaystyle{ \vec{BC}\cdot\vec{r}_{\perp}=3\cdot\xi+9\cdot 1=0}\).
Z tego dostajemy ow wektorek \(\displaystyle{ \vec{r}_{\perp}=(-3,1)}\). A zatem nasza prosta ma postac
\(\displaystyle{ \frac{x-(-3)}{-3}=\frac{y-4}{1}}\).
Rozwiazujac wzgledem y dostajesz
\(\displaystyle{ y=\frac{-1}{3}\,x+3}\).
Dokladnie tak samo postepujesz, aby znalezc dwie pozostale proste. Zmieniaja sie jedynie punkty i wektory. Jak masz juz te proste, to rozwiazujesz uklad rownan zlozony z dwoch dowolnych prostych i otrzymujesz punkt przeciecia, czyli ortocentrum. Latwe.