Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania:
Wykazać, że styczna do hiperboli równoosiowej \(\displaystyle{ xy=C}\) ogranicza z osiami układu współrzędnych trójkąt
o stałym polu.
Z góry dziękuję.
Styczna do hiperboli
-
abc666
Styczna do hiperboli
W czym dokładnie jest problem? Liczysz równanie stycznej. Miejsca przecięcia z osiami układu prostej chyba wiesz jak policzyć ?
-
abc666
Styczna do hiperboli
Ale to jest niepotrzebne, gdybyś sobie to rozpisał zobaczyłbyś, że wszystko się skraca. Zresztą to wynika z treści zadania, bo gdyby nasze pole zależało od x'sa to wtedy nie było by stałe, nie?
Równanie stycznej w punkcie \(\displaystyle{ (x_0, f(x_0))}\) to
\(\displaystyle{ y-f(x_0)=f'(x_0) \cdot (x-x_0)}\)
My mamy \(\displaystyle{ f(x)= \frac{C}{x}}\), podstawiasz do wzoru, wyjdzie ci funkcja liniowa z jakimiś współczynnikami zależnymi od \(\displaystyle{ x_0}\) i \(\displaystyle{ C}\). Wystarczy teraz znać miejsca przecięcia z osiami układu i wzór na pole trójkąta. Spróbuj to zrobić, jak się gdzieś zatniesz to pokaż obliczenia.
Równanie stycznej w punkcie \(\displaystyle{ (x_0, f(x_0))}\) to
\(\displaystyle{ y-f(x_0)=f'(x_0) \cdot (x-x_0)}\)
My mamy \(\displaystyle{ f(x)= \frac{C}{x}}\), podstawiasz do wzoru, wyjdzie ci funkcja liniowa z jakimiś współczynnikami zależnymi od \(\displaystyle{ x_0}\) i \(\displaystyle{ C}\). Wystarczy teraz znać miejsca przecięcia z osiami układu i wzór na pole trójkąta. Spróbuj to zrobić, jak się gdzieś zatniesz to pokaż obliczenia.
-
Falwick
- Użytkownik
- Posty: 62
- Rejestracja: 14 kwie 2009, o 10:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 4 razy
Styczna do hiperboli
\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{-C}{x ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ y - \frac{C}{x_0}=-\frac{C}{x_0^2} (x - x_0)}\)
Punkt przecięcia z OX:
\(\displaystyle{ -\frac{C}{x_0^2} (x-x_0) = -\frac{C}{x_0} \\ \frac{x - x_0}{x_0} = 1 \\ x = 2x_0}\)
Punkt przecięcia z OY:
\(\displaystyle{ \frac{C}{x_0} = y - \frac{C}{x_0}}\)
\(\displaystyle{ y = \frac{2C}{x_0}}\)
Pole:
\(\displaystyle{ P= \frac{xy}{2}}\)
\(\displaystyle{ P=2C}\)
Dobrze?
\(\displaystyle{ y - \frac{C}{x_0}=-\frac{C}{x_0^2} (x - x_0)}\)
Punkt przecięcia z OX:
\(\displaystyle{ -\frac{C}{x_0^2} (x-x_0) = -\frac{C}{x_0} \\ \frac{x - x_0}{x_0} = 1 \\ x = 2x_0}\)
Punkt przecięcia z OY:
\(\displaystyle{ \frac{C}{x_0} = y - \frac{C}{x_0}}\)
\(\displaystyle{ y = \frac{2C}{x_0}}\)
Pole:
\(\displaystyle{ P= \frac{xy}{2}}\)
\(\displaystyle{ P=2C}\)
Dobrze?
-
abc666
Styczna do hiperboli
Wygląda ok, jeszcze trzeba dać komentarz dlaczego możemy sobie po prostu pomnożyć \(\displaystyle{ xy}\) a nie \(\displaystyle{ |xy|}\)
