Pochodna i proste prostopadłe

[bmx_kamikadze]

Z punktu A należacego do prostej y=2 poprowadzono dwie proste, które są styczne w punktach B i C do paraboli \(\displaystyle{ y=- {\frac{1}{4}}x^{2}+x}\) . Wykaż, że proste AC i AB są prostopadłe.

r to oczywiście x, problem z tex. Początkujący jestem więdz prosze o wyrozumiałość.
Jak ktoś by znalazł czas to prosiłbym o rozwiązanie całego zadania. Dzięki za pomoc. Pozdrawiam

[Tristan]

Mógłbyś napisać w Texu, jak wygląda wzór tej paraboli?

[Lady Tilly]

Korzystasz ze wzoru na styczną zawary tutaj:

z tego, że punkt o którym mowanależy do prostej y=2 oraz, że wierzchołek paraboli mieści się w punkcie W=(2, 1) można stwierdzić, że te dwie styczne przecinają się w punkcie A=(2, 2) tak więc można ułożyć równanie z jedną niewiadomą uwzględniając oczywiście wzór podany w linku:
\(\displaystyle{ 2-(-\frac{1}{4}x^{2}+x)=(-\frac{1}{2}x+1){\cdot}(2-1)}\)
rozwiązaniem są dwa punkty \(\displaystyle{ x_{1}=0}\) oraz \(\displaystyle{ x_{2}=4}\) uwzględniając to
masz dane dwie proste styczne
pierwsza y=x
druga y=-x+4
sprawdzasz teraz czy jest spełniony warunek prostopadłości prostych

mam nadzieję, że nic nie pomieszałam

[DEXiu]

Karolina oj chyba jednak coś namieszałaś. Skąd ci wyszło, że te styczne przecinają się w punkcie (2,2)? To jest problem ogólny - mamy wykazać, że każde dwie styczne przecinające się na tej prostej są prostopadłe - takich par jest oczywiście nieskończenie wiele, ale jak wykaząć prawdziwość tezy w stosunkowo prosty sposób to nie mam pojęcia (próbowałem coś sobie na kartce rozpisać, ale przeszczedłem w analityczne wyliczanie równań prostych i zwątpiłem jak zobaczyłem te współczynniki )

[Rogal]

Jednak DEXiu wychodzi analitycznie, bez jakichś strasznych współczynników .
Najpierw sprawy umowne - prosta k, to prosta, do której należy punkt B, a do prostej l należy punkt C i oczywiście punkt A należy do obu. Od razu \(\displaystyle{ f'(x) = -\frac{1}{2} x + 1}\). Teraz korzystamy ze wzoru na równanie prostej stycznej do krzywej i mamy:
\(\displaystyle{ k: y=(x-x_{B})f'(x_{B}) + y_{B} \\ l: y=(x-x_{C})f'(x_{C}) + y_{C}}\)
Po wymnożeniu mamy:
\(\displaystyle{ k: y=xf'(x_{B}) - x_{B}f'(x_{B}) -\frac{1}{4} x_{B}^{2} + x_{B} \\ l: y=xf'(x_{C}) - x_{C}f'(x_{C}) -\frac{1}{4} x_{C}^{2} + x_{C}}\)
Widać więc, że współczynniki kierunkowe tych prostych, to odpowiednio \(\displaystyle{ f'(x_{B})}\) i \(\displaystyle{ f'(x_{C})}\). Proste te będą prostopadłe, gdy iloczyn współczyników kierunkowych równy jest -1. Do tego jednak jeszcze daleko ; ).
Korzystamy teraz z tego, że punkt A należy do obu tych prostych i ma współrzędne \(\displaystyle{ A=(x_{A}, 2)}\). Równocześnie też podstawiamy za \(\displaystyle{ f'(x_{B}) = -\frac{1}{2}x _{B}+ 1}\) i za \(\displaystyle{ f'(x_{C}) = -\frac{1}{2}x_{C} + 1}\). Po krótkich przekształceniach otrzymujemy dwa wzory:
\(\displaystyle{ x_{A} = \frac{ \frac{1}{2}x_{B}^{2} - 4}{x_{B} - 2} \\ x_{A} = \frac{\frac{1}{2}x_{C}^{2} - 4}{x_{C} - 2}}\)
Robimy, co możemy najprostszego, czyli przyrównujemy prawe strony tych równości do siebie i wymnażamy "na krzyż":
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x_{B}^{2}x_{C}-x_{B}^{2}-4x_{C} + 8 = \frac{1}{2}x_{B}x_{C}^{2} - 4x_{B} - x_{C}^{2} + 8 \\ \frac{1}{2}x_{B}x_{C}(x_{B}-x_{C}) - x_{B}^{2} + x_{C}^{2} - 4x_{C} + 4x_{B} = 0 \\ \frac{1}{2}x_{B}x_{C}(x_{B}-x_{C}) - (x_{B}-x_{C})(x_{B}+x_{C}) + 4(x_{B}-x_{C}) = 0 \\ (x_{B}-x_{C})(\frac{1}{2}x_{B}x_{C} - x_{B} - x_{C} + 4) = 0}\)
Przypadek \(\displaystyle{ x_{B}=x_{C}}\) daje nam proste pokrywające się, które nijak nie mogą być wtedy prostopadłe. Rozpatrzmy więc drugi przypadek:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x_{B}x_{C} - x_{B} - x_{C} + 4 = 0 \ / 2 \\ x_{B}x_{C} = 2x_{B} - 2x_{C} + 8 = 0 \\ (x_{B}-2)(x_{C}-2) + 4 = 0 \\ x_{C}-2 = \frac{-4}{x_{B}-2} \\ x_{C} = \frac{2(x_{B}-4)}{x_{B}-2}}\)
W tym momencie warto nadmienić, że przypadek zerowania się nam mianowników dla \(\displaystyle{ x_{B}=2}\) lub \(\displaystyle{ x_{C}=2}\) jest łatwy do rozpatrzenia. Zauważmy, że x=2 jest czubkiem paraboli. W tym więc punkcie styczna jest równoległa do osi OX, więc i do prostej y=2, a jednocześnie nie pokrywa się z nią. Stąd stycznej o takim równaniu być nie może.
Mamy więc jeden iks uzależniony od drugiego, więc policzmy pochodne w punkcie:
\(\displaystyle{ f'(x_{C}) = f'(\frac{2(x_{B}-4)}{x_{B}-2}) = -\frac{1}{2} \frac{2(x_{B}-4)}{x_{B}-2} + 1 = \frac{2}{x_{B}-2} \\ f'(x_{B} = -\frac{1}{2}x_{B} + 1 = -\frac{1}{2}(x_{B}-2) \\ f'(x_{B})f'(x_{C}) = -\frac{1}{2}(x_{B}-2) \frac{2}{x_{B}-2} = -1}\) c.k.d.


PS. Mam nadzieję, że nie ma gdzieś niedozwolonego skrótu myślowego

[DEXiu]

Łoż kur...cze Rogal, ale żeś przywalił. Gdyby nie to, że to nie ja jestem autorem wątku, dałbym ci chyba dwa Pomógł'y

[Rogal]

E no, bez przesady, dwa dni od pierwszego rzutu oka na nie. Ale przyznaję, że trochu perfidnie się zachowywało ; )