Napisać równanie wspólnych stycznych do paraboli \(\displaystyle{ y^2=3x}\)i okręgu \(\displaystyle{ x^2+y^2=64}\)
(styczna ma być jednocześnie do 2 krzywych- jak ktoś nie zrozumiał )
bardzo proszę o pomoc
Wspólna styczna do okręgu i paraboli
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Wspólna styczna do okręgu i paraboli
Niech szukana prosta ma równanie \(\displaystyle{ y=ax+b}\).
Najpierw sprawdzasz, jaki warunek muszą spęłniać a i b, że by dana prosta była styczna do paraboli.
Szukasz takich a i b, że układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y^{2}=3x \\ y=ax+b \end{cases}}\)
ma jedno rozwiązanie (bo jeśli prosta nierównoległa do osi OY ma jeden punkt wspólny z tą parabolą, to jest do niej styczna, chyba, że jest równoległa do osi OX - stąd żadna para postaci \(\displaystyle{ (0,b),b \in \Re}\), nie może być rozwiązaniem zadania)
Dany układ równań jest równoważny równaniu:
\(\displaystyle{ (ax+b)^{2}=3x}\)
po przekształceniach:
\(\displaystyle{ a^{2}x^{2}+(2ab-3)x+b^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-12ab+9}\)
Szukamy takich a,b, że \(\displaystyle{ \Delta=0}\), czyli
\(\displaystyle{ ab=\frac{3}{4}}\)
Teraz sprawdzasz, jaki warunek muszą spełniać a i b, że by dana prosta była styczna do okręgu.
Szukasz takich a i b, że układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+y^{2}=64 \\ y=ax+b \end{cases}}\)
ma jedno rozwiązanie.
Dany układ równań jest równoważny równaniu:
\(\displaystyle{ x^{2}+(ax+b)^{2}=64}\)
po przekształceniach:
\(\displaystyle{ (a^{2}+1)x^{2}+2abx+b^{2}-64=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=256a^{2}-4b^{2}+256}\)
Szukamy takich a,b, że \(\displaystyle{ \Delta=0}\), czyli
\(\displaystyle{ 64a^{2}-b^{2}+64=0}\)
Pozostaje zatem rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} ab=\frac{3}{4} \\ 64a^{2}-b^{2}+64=0 \end{cases}}\)
Sprawdź jeszcze dokładnie wszystkie obliczenia i rozwiąż otrzymany na końcu układ równań.
Najpierw sprawdzasz, jaki warunek muszą spęłniać a i b, że by dana prosta była styczna do paraboli.
Szukasz takich a i b, że układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y^{2}=3x \\ y=ax+b \end{cases}}\)
ma jedno rozwiązanie (bo jeśli prosta nierównoległa do osi OY ma jeden punkt wspólny z tą parabolą, to jest do niej styczna, chyba, że jest równoległa do osi OX - stąd żadna para postaci \(\displaystyle{ (0,b),b \in \Re}\), nie może być rozwiązaniem zadania)
Dany układ równań jest równoważny równaniu:
\(\displaystyle{ (ax+b)^{2}=3x}\)
po przekształceniach:
\(\displaystyle{ a^{2}x^{2}+(2ab-3)x+b^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-12ab+9}\)
Szukamy takich a,b, że \(\displaystyle{ \Delta=0}\), czyli
\(\displaystyle{ ab=\frac{3}{4}}\)
Teraz sprawdzasz, jaki warunek muszą spełniać a i b, że by dana prosta była styczna do okręgu.
Szukasz takich a i b, że układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+y^{2}=64 \\ y=ax+b \end{cases}}\)
ma jedno rozwiązanie.
Dany układ równań jest równoważny równaniu:
\(\displaystyle{ x^{2}+(ax+b)^{2}=64}\)
po przekształceniach:
\(\displaystyle{ (a^{2}+1)x^{2}+2abx+b^{2}-64=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=256a^{2}-4b^{2}+256}\)
Szukamy takich a,b, że \(\displaystyle{ \Delta=0}\), czyli
\(\displaystyle{ 64a^{2}-b^{2}+64=0}\)
Pozostaje zatem rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} ab=\frac{3}{4} \\ 64a^{2}-b^{2}+64=0 \end{cases}}\)
Sprawdź jeszcze dokładnie wszystkie obliczenia i rozwiąż otrzymany na końcu układ równań.
-
korzenek
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 3 lis 2008, o 18:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Międzyrzec Podlaski
- Podziękował: 1 raz
Wspólna styczna do okręgu i paraboli
Jednakże ten układ równań nie ma rozwiązań, wychodzi że a^2 to liczba ujemna
więc, taka styczna nie istnieje?? ( ja ją narysowałem i była)
więc, taka styczna nie istnieje?? ( ja ją narysowałem i była)