Hiperbola
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x ^{2} }{16} - \frac{z ^{2} }{9} = 1 \\ y = 0\end{cases}}\)
obraca się dookoła osi OX. Napisać równanie powierzchni powstałej z obrotu.
Za wszelką pomoc serdecznie dziękuję.
Równanie powierzchni powstałej z obrotu
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Równanie powierzchni powstałej z obrotu
Odległość dowolnego punktu przestrzeni (x,y,z) od osi OX jest równa \(\displaystyle{ \sqrt{y^2+z^2}}\).
Ponieważ obrót jest dokoła osi OX, to dla dowolnego (ale ustalonego) x odległość dowolnego punktu na tej powierzchni od osi OX jest zawsze taka sama (bo dla ustalonego x punkty tej powierzchni leżą na okręgu o środku na osi OX). Jest tak w szczególności dla punktów, dla których y=0, a więc dla punktów leżących na wyjściowej hiperboli. Zatem z równania hiperboli obliczamy, że odległość tych punktów jest równa \(\displaystyle{ \sqrt{z^2}=\sqrt{9(\frac{x^2}{16}-1)}}\).
A więc zachodzi równość \(\displaystyle{ \sqrt{y^2+z^2}=\sqrt{9(\frac{x^2}{16}-1)}}\) i po podniesieniu do kwadratu mamy
\(\displaystyle{ y^2+z^2=9(\frac{x^2}{16}-1)\ \Rightarrow \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}-\frac{z^2}{9}=1}\)
Pozdrawiam.
Ponieważ obrót jest dokoła osi OX, to dla dowolnego (ale ustalonego) x odległość dowolnego punktu na tej powierzchni od osi OX jest zawsze taka sama (bo dla ustalonego x punkty tej powierzchni leżą na okręgu o środku na osi OX). Jest tak w szczególności dla punktów, dla których y=0, a więc dla punktów leżących na wyjściowej hiperboli. Zatem z równania hiperboli obliczamy, że odległość tych punktów jest równa \(\displaystyle{ \sqrt{z^2}=\sqrt{9(\frac{x^2}{16}-1)}}\).
A więc zachodzi równość \(\displaystyle{ \sqrt{y^2+z^2}=\sqrt{9(\frac{x^2}{16}-1)}}\) i po podniesieniu do kwadratu mamy
\(\displaystyle{ y^2+z^2=9(\frac{x^2}{16}-1)\ \Rightarrow \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}-\frac{z^2}{9}=1}\)
Pozdrawiam.