Styczna do elipsy

johanna · Post autor: **johanna** » 23 maja 2009, o 10:55

Znaleźć równanie tej stycznej do elipsy \(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{25} + \frac{y ^{2} }{9} =1}\), dla której stosunek odległości od dwóch ognisk elipsy równa się 9.

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 23 maja 2009, o 15:24

Równanie prostej stycznej, współrzędne ognisk elipsy oraz wzór na odległość punktu od prostej - chyba to wszystko znasz? To skorzystaj z tego.

Pozdrawiam.

johanna · Post autor: **johanna** » 23 maja 2009, o 15:36

Doszłam do takiego wzoru \(\displaystyle{ 9xx _{0} + 25yy_{0} =225}\). Współrzędne ognisk mają współrzędne \(\displaystyle{ F_{1} = (-4,0) i F_{2} = (0,4)}\). Nie wiem natomiast jak mam rozumieć stosunek od dwóch ognisk, jak to można zapisać?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 23 maja 2009, o 16:03

No chodzi o stosunek odległości prostej od dwóch punktów (a właściwie dwóch punktów od prostej).

Jeśli prosta l ma równanie Ax+By+c=0, a punkt P ma współrzędne (s,t), to odległość punkty P od prostej l wyraża się wzorem

\(\displaystyle{ d(P,l)=\frac{|As+Bt+c|}{\sqrt{A^2+B^2}}}\).

Podstaw do wzoru oba ogniska. Iloraz tych odległości jest równy 9. Są zatem dwie możliwości i otrzymasz dwie takie proste.

No i jeszcze jedno - zamieniasz \(\displaystyle{ x_0}\) na \(\displaystyle{ y_0}\) (lub odwrotnie) korzystając z tego, że \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) to punkt leżący na elipsie.

Pozdrawiam.

johanna · Post autor: **johanna** » 23 maja 2009, o 16:05

Dziękuję bardzo za wskazówki.