Trójkąt prostokątny w układzie współrzednych.

[ashlee]

Mam mały problem z tym zadaniem.

Punkty B=(0,10) i 0=(0,0) są wierzchołkami trójkąta prostokatnego OAB w którym miara kąta OAB wynosi \(\displaystyle{ 90^{o}}\).Przyprostokątna OA zawiera się w prostej o równaniu \(\displaystyle{ y= \frac{1}{2} x}\).Oblicz wspolrzędne punktu A o długość przyprostokątnej OA.


Jak to obliczyc?
Rysunek już mam.

[MistyKu]

\(\displaystyle{ A(x, \frac{1}{2}x )}\)
\(\displaystyle{ |OA| ^{2} +|BA| ^{2} = 100}\)
\(\displaystyle{ |OA| ^{2}=x ^{2}+ \frac{1}{4}x ^{2}}\)
\(\displaystyle{ |BA| ^{2} = \frac{5}{4} x ^{2}-10x+100}\)
\(\displaystyle{ |OA| ^{2}+|BA| ^{2}=100}\)
\(\displaystyle{ 10 x^{2}-40x=0}\)
\(\displaystyle{ x=0 \vee x=4}\)
wtedy \(\displaystyle{ y=0}\) lub \(\displaystyle{ y=2}\)
Trzeba zauwazyc, ze punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\) jest juz zarezerwowany, ale rowniez spelnia warunki tgo rownania. Wiec pozostaje tylko druga mozliwosc \(\displaystyle{ A(4,2)}\)

[ashlee]

a coś jasniej?

[MistyKu]

Skorzystalem tutaj z pitagorasa \(\displaystyle{ a ^{2} +b ^{2}=c^{2}}\) w tym wypadku \(\displaystyle{ a=|OA| b=|BA| c=|OB|}\)

[ashlee]

ok a skad wzieło się to 100, 5/4 i 1/4?

[MistyKu]

Wszystko jest ze wzoru na dlugosc odcinka \(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{(x _{b}-x _{a}) ^{2}+((y _{b}-y_{a}) ^{2} }}\). Tylko nie pisalem kazdego przejscia

[ashlee]

A MOZNA to obliczyc inny sposobem?

[MistyKu]

wektorami