Iloczyn skalarny - prośba o rozwiązanie.

[krzysiekfff]

Witam. Jak to rozwiązać?

Zad.1
Dane są punkty \(\displaystyle{ A=(-2;2), B=(5;-1)}\). Na prostej \(\displaystyle{ y=-2x+4}\) znajdź taki punkt \(\displaystyle{ C}\), aby wektory \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) i \(\displaystyle{ \vec{AC}}\) były prostopadłe.

Zad.2
Dane są punkty \(\displaystyle{ A=(2;0)}\) i \(\displaystyle{ B=(4;2)}\). Znajdź taki punkt C, aby wektory \(\displaystyle{ \vec{AC}, \vec{AB}}\) były prostopadłe i równej długości.

[lukasz1804]

1. Skoro \(\displaystyle{ C}\) należy do prostej \(\displaystyle{ y=-2x+4}\), to \(\displaystyle{ C=(x,-2x+4)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\).
Mamy zatem \(\displaystyle{ \vec{AB}=[5-(-2),-1-2]=[7,-3]}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{AC}=[x-(-2),-2x+4-2]=[x+2,-2x+2]}\). Z warunku prostopadłości wektorów wynika, że \(\displaystyle{ \vec{AB}\circ\vec{AC}=0}\). Stąd otrzymujemy \(\displaystyle{ 7(x+2)+(-3)(-2x+2)=0}\), czyli \(\displaystyle{ 7x+14+6x-6=0}\), tj. \(\displaystyle{ x=-\frac{8}{13}}\). Zatem mamy \(\displaystyle{ C=(-\frac{8}{13},5\frac{3}{13})}\).

[krzysiekfff]

Dzięki za pomoc;)