Styczna do okręgu

[KaMyLuS]

Znajdz styczna do okregu: \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+12x-2y+17=0}\)
a) równolegla do prostej l: \(\displaystyle{ 2x+y-5=0}\)
b) przechodzaca przez pkt P=(0,1)

Jak ja to licze to niezly rozjazd sie robi (powstaje rownanie 4stopnia...). Moglby mi ktos pomoc?

[piasek101]

a) szukana to \(\displaystyle{ y=-2x+b}\) z danym okręgiem ma mieć dokładnie jeden punkt wspólny.
Czyli układ równań : okrąg - prosta ma mieć jedno rozwiązanie.

b) podobnie (wyznacz równanie pęku prostych przechodzących przez dany punkt).

[bedbet]

Zamieść swoje obliczenia to powiem Ci gdzie masz błąd.

[KaMyLuS]

A to może inaczej -> powiem jak robie bo przepisywac to troche by zeszlo, a skan, to po mnie sie nie doczytacie xD Wiec w pkt a) mam układ 3 równań:
\(\displaystyle{ y = -2x + b}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+12x-2y+17=0}\)
\(\displaystyle{ -x(x+6)+(y-1)(b-y) = 0}\)

1sze to of cuz rownanie prostej, 2gie to okregu, natomiast co do 3ciego:
Tworze sobie wektor od srodka okregu do pkt stycznosci (czyli promien xD), zatem ma on wspolrzedne [x+6, y-1] oraz tworze wektor wspoliniowy z prosta y = -2x + b, zaczynajacy sie w pkt stycznosci a konczacy sie dla wygody w pkt, gdzie wspolrzedna x prostej jest rowna 0, zatem wektor ten ma wspolrzedne [-x, b-y]. No i teraz 3cie rownanie jest warunkiem prostopadlosci jednego wektora do 2giego. No i jak widac super niezly rozjazd sie zrobi jakbym chcial to rozwiazywac... 3 rownania, w tym 2 kwadratowe... 'lekko' mowiac masochizm xD A jest jakis inny sposob by to rozwiazac? Bo nie wierze ze bedzie jednak konieczne zarzynanie sie z tym ukladem...

[bedbet]

Przekombinowane. Masz po prostu dwa pierwsze równania i wstawiasz za \(\displaystyle{ y}\) w drugim to pierwsze i otrzymujesz równanie kwadratowe ze zmienną \(\displaystyle{ x}\). Z warunku styczności wnioskujesz, że równanie to ma mieć jedno rozwiązanie, czyli jego wyróżnik musi wynosić zero, a z tego warunku już wyliczysz \(\displaystyle{ b}\).