hej bardzo proszę o pomoc w tym zadaniu:
Ułóż równania boków trójkąta mając podane: wierzchołek \(\displaystyle{ A(-4, 2)}\) oraz równania dwóch środkowych: \(\displaystyle{ 3x-2y+2=0}\) i \(\displaystyle{ 3x+5y-12=0}\).
równania boków trójkąta z wierzchołka i dwóch środkowych...
-
Marcin_Garbacz
- Użytkownik
- Posty: 451
- Rejestracja: 8 kwie 2009, o 17:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 58 razy
równania boków trójkąta z wierzchołka i dwóch środkowych...
No to lecimy. W analitycznej dobry rysunek to podstawa.
(kliknij żeby powiększyć)
1. Wyznaczamy środek przeciecia środkowych trójkąta.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x-2y+2=0 \\ 3x+5y-12=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ S=( \frac{2}{3} ,2)}\)
2. Wyznaczamy równanie 3 symetralnej która przechodzi przez punkty A oraz S. Z rysunku łatwo zauwazyć że ma ona równanie \(\displaystyle{ y=2}\).
3. Wyznaczamy długość odcinka |AS|. Dodatkowo wiemy że środkowe w trójkącie dzielą się w stosunku 2:1. Dzięki temu mozemy wyznaczyć środek boku leżacego naprzeciwko punktu A. U mnie ten punkt na rysunku zaznaczyłem literką A'.
\(\displaystyle{ |AS|=4 \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} |AS|=2 \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ d(S,A')=2 \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{7}{3} = \sqrt{(x- \frac{2}{3})^{2} }}\)
i tutaj jedno rozwiazanie musimy odrzucić. Wychodzi z tego \(\displaystyle{ x=3}\) => \(\displaystyle{ A'(3,2)}\).
4. Możemy przyjąć że: \(\displaystyle{ B(x_{b}, \frac{3}{2} x_{b}+1)}\) i \(\displaystyle{ C(x_{c},- \frac{3}{5} x_{c}+ \frac{12}{5})}\).
Dodatkowo wiemy że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x_{b}+x_{c}}{2} =3 \\ \frac{y_{b}+y_{c}}{2}=2 \end{cases}}\)
Z tego wynika że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{3}{2} x_{b}+1- \frac{3}{5}x_{c}+ \frac{12}{5}=4 \\ x_{b}+x_{c}=6 \end{cases}}\)
Obliczamy i otrzymujeszmy:
\(\displaystyle{ x_{c}=4}\) => \(\displaystyle{ C=(4,0)}\)
\(\displaystyle{ x_{b}=2}\)=> \(\displaystyle{ B=(2,4)}\)
5. Wyznaczamy równania prostych zawierajacych boki trójkąta ... Mozemy to uczynić, korzystajac ze wzoru lub stworzyć układziki równań.
Bok AB
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4=2a+b \\ 2=-4a+b \end{cases}}\)
Bok AC
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2=-4a+b \\ 0=4a+b \end{cases}}\)
Bok BC
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4=2a+b \\ 0=4a+b \end{cases}}\)
6. Wystarczy rozwiązać układy i masz rozwiązania zadania.
(kliknij żeby powiększyć)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x-2y+2=0 \\ 3x+5y-12=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ S=( \frac{2}{3} ,2)}\)
2. Wyznaczamy równanie 3 symetralnej która przechodzi przez punkty A oraz S. Z rysunku łatwo zauwazyć że ma ona równanie \(\displaystyle{ y=2}\).
3. Wyznaczamy długość odcinka |AS|. Dodatkowo wiemy że środkowe w trójkącie dzielą się w stosunku 2:1. Dzięki temu mozemy wyznaczyć środek boku leżacego naprzeciwko punktu A. U mnie ten punkt na rysunku zaznaczyłem literką A'.
\(\displaystyle{ |AS|=4 \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} |AS|=2 \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ d(S,A')=2 \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{7}{3} = \sqrt{(x- \frac{2}{3})^{2} }}\)
i tutaj jedno rozwiazanie musimy odrzucić. Wychodzi z tego \(\displaystyle{ x=3}\) => \(\displaystyle{ A'(3,2)}\).
4. Możemy przyjąć że: \(\displaystyle{ B(x_{b}, \frac{3}{2} x_{b}+1)}\) i \(\displaystyle{ C(x_{c},- \frac{3}{5} x_{c}+ \frac{12}{5})}\).
Dodatkowo wiemy że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x_{b}+x_{c}}{2} =3 \\ \frac{y_{b}+y_{c}}{2}=2 \end{cases}}\)
Z tego wynika że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{3}{2} x_{b}+1- \frac{3}{5}x_{c}+ \frac{12}{5}=4 \\ x_{b}+x_{c}=6 \end{cases}}\)
Obliczamy i otrzymujeszmy:
\(\displaystyle{ x_{c}=4}\) => \(\displaystyle{ C=(4,0)}\)
\(\displaystyle{ x_{b}=2}\)=> \(\displaystyle{ B=(2,4)}\)
5. Wyznaczamy równania prostych zawierajacych boki trójkąta ... Mozemy to uczynić, korzystajac ze wzoru lub stworzyć układziki równań.
Bok AB
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4=2a+b \\ 2=-4a+b \end{cases}}\)
Bok AC
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2=-4a+b \\ 0=4a+b \end{cases}}\)
Bok BC
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4=2a+b \\ 0=4a+b \end{cases}}\)
6. Wystarczy rozwiązać układy i masz rozwiązania zadania.