Witam wszystkich forumowiczów. Chciałbym przedstawić zadanie z którym mam problem. Całkowicie go nie rozumiem. Czy może ktoś mi je wytłumaczyć krok po kroku i podać rozwiązanie?
Zadanie 2
Na jakiej krzywej leżą punkty przebicia płaszczyzny xy przez styczne do krzywej
\(\displaystyle{ x = a(sint +cost)}\), \(\displaystyle{ y = a(sint - cost)}\), \(\displaystyle{ z = be^{-t}}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b >0}\) są ustalonymi parametrami.
Punkty przebicia plaszczyzny.
- gott314
- Użytkownik
- Posty: 233
- Rejestracja: 15 kwie 2009, o 16:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 38 razy
Punkty przebicia plaszczyzny.
Mamy:
\(\displaystyle{ \vec{r}=[a(\sin t+\cos t),a (\sin t - \cos t),b e^{-t}]}\)
Styczna ma równanie:
\(\displaystyle{ [x,y,z]=\vec{r}+l*\vec{r}\prime}\) (oczywiście tam powinna być kropka zamiast tego prima ;] )
Zatem:
\(\displaystyle{ \vec{r}\prime=[a(\cos t -\sin t), a(\sin t + \cos t ), -be^{-t}]}\)
Przechodząc do równania parametrycznego:
\(\displaystyle{ x=a(\sin t+\cos t) + l \cdot a(\cos t -\sin t)}\)
\(\displaystyle{ y=a (\sin t - \cos t)+l\cdot a(\sin t + \cos t )}\)
\(\displaystyle{ z=b\cdot e^{-t}-l \cdot b \cdot e^{-t}}\)
Równanie płaszczyzny OXY jest postaci:
\(\displaystyle{ z=0}\)
Tworzymy układ równań, z któreg najpierw wyliczam "l".
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=a(\sin t+\cos t) + l \cdot a(\cos t -\sin t)\\y=a (\sin t - \cos t)+l\cdot a(\sin t + \cos t )\\z=b\cdote^{-t}-l \cdot b \cdot e^{-t}\\z=0 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ l=1}\)
Podstawiając do dwóch pierwszych równań mamy:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=a(\sin t+\cos t) + a(\cos t -\sin t)\\y=a (\sin t - \cos t)+a(\sin t + \cos t )\\\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=2a\cos t\\y=2a\sin t\\\end{array}}\)
Korzystając ze wzoru na jedynkę trygonometryczną otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=a^{2}}\)
\(\displaystyle{ \vec{r}=[a(\sin t+\cos t),a (\sin t - \cos t),b e^{-t}]}\)
Styczna ma równanie:
\(\displaystyle{ [x,y,z]=\vec{r}+l*\vec{r}\prime}\) (oczywiście tam powinna być kropka zamiast tego prima ;] )
Zatem:
\(\displaystyle{ \vec{r}\prime=[a(\cos t -\sin t), a(\sin t + \cos t ), -be^{-t}]}\)
Przechodząc do równania parametrycznego:
\(\displaystyle{ x=a(\sin t+\cos t) + l \cdot a(\cos t -\sin t)}\)
\(\displaystyle{ y=a (\sin t - \cos t)+l\cdot a(\sin t + \cos t )}\)
\(\displaystyle{ z=b\cdot e^{-t}-l \cdot b \cdot e^{-t}}\)
Równanie płaszczyzny OXY jest postaci:
\(\displaystyle{ z=0}\)
Tworzymy układ równań, z któreg najpierw wyliczam "l".
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=a(\sin t+\cos t) + l \cdot a(\cos t -\sin t)\\y=a (\sin t - \cos t)+l\cdot a(\sin t + \cos t )\\z=b\cdote^{-t}-l \cdot b \cdot e^{-t}\\z=0 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ l=1}\)
Podstawiając do dwóch pierwszych równań mamy:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=a(\sin t+\cos t) + a(\cos t -\sin t)\\y=a (\sin t - \cos t)+a(\sin t + \cos t )\\\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=2a\cos t\\y=2a\sin t\\\end{array}}\)
Korzystając ze wzoru na jedynkę trygonometryczną otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=a^{2}}\)