Parametr naturalny (łukowy) dla helisy stożkowej.

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
lewis83
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 10 mar 2009, o 23:08
Płeć: Mężczyzna

Parametr naturalny (łukowy) dla helisy stożkowej.

Post autor: lewis83 » 12 maja 2009, o 15:53

Witam wszystkich forumowiczów. Chciałbym przedstawić zadanie z którym mam problem. Całkowicie go nie rozumiem. Czy może ktoś mi je wytłumaczyć krok po kroku i podać rozwiązanie?
Zadanie 3
Wyznaczyć parametr naturalny (łukowy)dla helisy stożkowej
\(\displaystyle{ x=e^{t}cost}\), \(\displaystyle{ y = e^{t}sint}\), \(\displaystyle{ z = e^{t}}\) gdzie \(\displaystyle{ t \in R}\) przyjmując \(\displaystyle{ s(0) = 0}\)

Awatar użytkownika
gott314
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 233
Rejestracja: 15 kwie 2009, o 16:48
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 38 razy

Parametr naturalny (łukowy) dla helisy stożkowej.

Post autor: gott314 » 13 maja 2009, o 16:44

\(\displaystyle{ r=[e^{t}\cos (t),e^{t}\sin (t),e^{t}]}\)
Obliczając pochodną:
\(\displaystyle{ \vec{r}\prime=[e^{t}\cos(t)-e^{t}\sin(t),e^{t}\cos(t)+e^{t}\sin(t),e^{t}]}\) (tam powinna być kropka nad "r" zamiast tego prima, bo mamy parametryzację dowolną; nie wiem jak ją zapisać)
Korzystamy ze wzoru:
\(\displaystyle{ s=\int|\vec{r}\prime|dt}\)
\(\displaystyle{ s=\int\sqrt{(e^{t}\cos(t)-e^{t}\sin(t))^{2}+(e^{t}\cos(t)+e^{t}\sin(t))^{2}+(e^{t})^{2}} dt=\sqrt{3}\int e^{t}dt=}\)
\(\displaystyle{ =\sqrt{3}\cdot e^{t}+C}\)
\(\displaystyle{ s(0)=\sqrt{3} e^{0}+C=\sqrt{3}+C=0}\)
\(\displaystyle{ C=-\sqrt{3}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ s=\sqrt{3}\cdot e^{t}-\sqrt{3}}\)

lewis83
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 10 mar 2009, o 23:08
Płeć: Mężczyzna

Parametr naturalny (łukowy) dla helisy stożkowej.

Post autor: lewis83 » 16 maja 2009, o 05:31

Dziękuje bardzo za pomoc, a jak inne zadania z teggo działu? Dałbyś radę zrobić?

ODPOWIEDZ