W jakim punkcie \(\displaystyle{ x \in (0,2)}\) paraboli \(\displaystyle{ y= -x^2+4}\) należy poprowadzić styczną, aby trójkąt ograniczony tą styczną i dodatnimi półosiami współrzędnych miał najmniejsze pole.
Za pomoc z góry dziękuje
Pole trójkąta ograniczony styczną - ekstremum
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Pole trójkąta ograniczony styczną - ekstremum
Równanie stycznej: \(\displaystyle{ y-t=-2s(x-s)}\), gdzie (s,t) jest punktem styczności (czyli leży też na paraboli).
Punkty przecięcia stycznej z osiami:
\(\displaystyle{ x=0\ \Rightarrow y=t+2s^2,\quad y=0\ \Rightarrow x=\frac{t+2s^2}{2s}}\).
Trójkąt o który chodzi jest prostokątny o bokach długości takiej, jak współrzędne punktów przecięcia stycznej z osiami, więc
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}(t+2s^2)\frac{t+2s^2}{2s}=\frac{(t+2s^2)^2}{4s}}\)
Ponieważ (s,t) leży na paraboli, to \(\displaystyle{ t=-s^2+4}\), a więc ostatecznie pole wyraża się funkcją jednej zmiennej
\(\displaystyle{ P(s)=\frac{(4+s^2)^2}{4s}}\)
Obliczasz ekstrema i masz.
Pozdrawiam.
Punkty przecięcia stycznej z osiami:
\(\displaystyle{ x=0\ \Rightarrow y=t+2s^2,\quad y=0\ \Rightarrow x=\frac{t+2s^2}{2s}}\).
Trójkąt o który chodzi jest prostokątny o bokach długości takiej, jak współrzędne punktów przecięcia stycznej z osiami, więc
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}(t+2s^2)\frac{t+2s^2}{2s}=\frac{(t+2s^2)^2}{4s}}\)
Ponieważ (s,t) leży na paraboli, to \(\displaystyle{ t=-s^2+4}\), a więc ostatecznie pole wyraża się funkcją jednej zmiennej
\(\displaystyle{ P(s)=\frac{(4+s^2)^2}{4s}}\)
Obliczasz ekstrema i masz.
Pozdrawiam.