Układ równań - okręgi

[hulietta]

Zbadaj, dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2}+y ^{2}+2x=m ^{2}-1 \\ x ^{2}+y ^{2}-4x-8y=m ^{2}+2m-19 \end{cases}}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Odp: dla m=-3 i m=2

Nie wiem jak to zrobić, żeby tak wyszło, gdy robiłam to za pomocą własności okręgów stycznych wew./zew. to wychodziło mi m=2 i m=8.

[MistyKu]

Wydaje mi sie, ze wtedy gdy odleglosc miedzy srodkami tych okregow bedzie rowna sumie promieni tych okregow(styczne zewnetrznie) \(\displaystyle{ |m+1|+|m|=5}\), dokladnie taki wynik wychodzi wiec napewno tak : ) natomiast kiedy beda stycznie WEWNETRZNIE nie trzeba sprawdzac, narysuj sobie rysunek i zobacz, ze gdyby mialy byc styczne wewnetrznie to roznica w dlugosci tych promieni musialaby byc znacznie wieksza niz 1 : )

[Tomcat]

Zapiszmy sobie odpowiednie równania okręgu:
\(\displaystyle{ x^2+y^2+2x=m^2-1 \\
(x+2)^2+y^2=m^2+3}\)
oraz:
\(\displaystyle{ (x-2)^2+(y-4)^2=m^2+2m-39}\)
Przypomnę Ci postać równania okręgu: \(\displaystyle{ (x-x_A)^2+(y+y_A[)^2=r^2}\)
Czyli masz z tych dwóch równań dwa punkty, liczysz długość odcinka między nimi, potem sprawdzasz dla jakiego m suma promieni jest równa temu odcinkowi.

[MistyKu]

Tomcat zle obliczyles te rownania :
1 okrag : \(\displaystyle{ (x+1) ^{2 } +y ^{2}=m ^{2}}\)
2 okrag : \(\displaystyle{ (x-2) ^{2}+(y-4) ^{2}=(m+1) ^{2}}\)

[piotrekd4]

Po przekształceniach korzystając z wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+1)^{2}-1+y^{2}=m^{2}-1\\(x-2)^{2}-4+(y-4)^{2}-16=m^{2}+2m-19\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+1)^{2}+y^{2}=m^{2}\\(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=m^{2}+2m+1\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+1)^{2}+y^{2}=m^{2}\\(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=(m+1)^{2}\end{cases}}\)

Czyli S1=(-1, 0) r1= |m|
S2=(2, 4) r2= |m+1|

Obliczamy odległość pomiędzy środkami okręgów: |S1S2| = 5.
Następnie korzystając z warunków na styczność 5 = 2m + 1 lub -5 = 2m+1. Czyli m=2 lub m=-3

[MistyKu]

@up ale przeciez nie ma takiej mozliwosci zeby one byly styczne wewnetrznie, jesli jeden z promieni jest wiekszy tylko o 1 a odleglosc miedzy tymi srodkami jak sam wspomniales jest 5 gdy m=-3 one sa styczne ale takze zewnetrznie ~_~ zapamietaj ze te promienie maja dlugosci |m+1| i |m| a nie m+1 i m

[piotrekd4]

@up ale przeciez nie ma takiej mozliwosci zeby one byly styczne wewnetrznie, jesli jeden z promieni jest wiekszy tylko o 1 a odleglosc miedzy tymi srodkami jak sam wspomniales jest 5 gdy m=-3 one sa styczne ale takze zewnetrznie ~_~ zapamietaj ze te promienie maja dlugosci |m+1| i |m| a nie m+1 i m

@up Rzeczywiście masz rację. Już poprawiłem Pozdrawiam.