Witam jestem nowy na forum, szukałem dowodu na iloczyn skalarny wektorów w układzie mianowicie:
aob = ax * bx + ay * by
I mam to dowieść ale nie za bardzo wiem jak .Liczę na czyjąś pomoc i mam nadzieje że wybrałem dobry dział
Iloczyn skalarny wektorów
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Iloczyn skalarny wektorów
Założenie: \(\displaystyle{ \vec{u}=[x_{1},y_{1}],\vec{v}=[x_{2},y_{2}], \vec{u},\vec{v} \neq \vec{0}}\)
Teza: \(\displaystyle{ \vec{u} \circ \vec{v}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}\)
Dowód:
Z definicji iloczynu skalarnego mamy równość \(\displaystyle{ \vec{u} \circ \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}| \cdot cos \sphericalangle (\vec{u},\vec{v})}\). Ponadto zachodzi \(\displaystyle{ |\vec{u}|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}, |\vec{v}|=\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}\) i \(\displaystyle{ \vec{u}+\vec{v}=[x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}]}\).
Na podstawie twierdzenia cosinusów zachodzi:
\(\displaystyle{ |\vec{u}+\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2|\vec{u}||\vec{v}| \cdot cos (180^{o}-\sphericalangle (\vec{u},\vec{v}))}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ cos(180^{o}-\alpha)=-cos\alpha}\), to:
\(\displaystyle{ |\vec{u}+\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}+2|\vec{u}||\vec{v}| \cdot cos \sphericalangle (\vec{u},\vec{v})}\)
Z ostatniej równości otrzymujemy:
\(\displaystyle{ cos \sphericalangle (\vec{u},\vec{v}) =\frac{ |\vec{u}+\vec{v}|^{2}-|\vec{u}|^{2}-|\vec{v}|^{2} }{2|\vec{u}||\vec{v}|}}\)
\(\displaystyle{ |\vec{u}||\vec{v}| \cdot cos \sphericalangle (\vec{u},\vec{v})=\frac{1}{2}(|\vec{u}+\vec{v}|^{2}-|\vec{u}|^{2}-|\vec{v}|^{2})}\)
\(\displaystyle{ \vec{u} \circ \vec{v}=\frac{1}{2}(|\vec{u}+\vec{v}|^{2}-|\vec{u}|^{2}-|\vec{v}|^{2})}\), na mocy wcześniejszych równości możemy zapisać:
\(\displaystyle{ \vec{u} \circ \vec{v}=\frac{1}{2}((x_{1}+x_{2})^{2}+(y_{1}+y_{2})^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-y_{1}^{2}-y_{2}^{2})}\)
\(\displaystyle{ \vec{u} \circ \vec{v}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}\), c.n.u.
Teza: \(\displaystyle{ \vec{u} \circ \vec{v}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}\)
Dowód:
Z definicji iloczynu skalarnego mamy równość \(\displaystyle{ \vec{u} \circ \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}| \cdot cos \sphericalangle (\vec{u},\vec{v})}\). Ponadto zachodzi \(\displaystyle{ |\vec{u}|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}, |\vec{v}|=\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}\) i \(\displaystyle{ \vec{u}+\vec{v}=[x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}]}\).
Na podstawie twierdzenia cosinusów zachodzi:
\(\displaystyle{ |\vec{u}+\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2|\vec{u}||\vec{v}| \cdot cos (180^{o}-\sphericalangle (\vec{u},\vec{v}))}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ cos(180^{o}-\alpha)=-cos\alpha}\), to:
\(\displaystyle{ |\vec{u}+\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}+2|\vec{u}||\vec{v}| \cdot cos \sphericalangle (\vec{u},\vec{v})}\)
Z ostatniej równości otrzymujemy:
\(\displaystyle{ cos \sphericalangle (\vec{u},\vec{v}) =\frac{ |\vec{u}+\vec{v}|^{2}-|\vec{u}|^{2}-|\vec{v}|^{2} }{2|\vec{u}||\vec{v}|}}\)
\(\displaystyle{ |\vec{u}||\vec{v}| \cdot cos \sphericalangle (\vec{u},\vec{v})=\frac{1}{2}(|\vec{u}+\vec{v}|^{2}-|\vec{u}|^{2}-|\vec{v}|^{2})}\)
\(\displaystyle{ \vec{u} \circ \vec{v}=\frac{1}{2}(|\vec{u}+\vec{v}|^{2}-|\vec{u}|^{2}-|\vec{v}|^{2})}\), na mocy wcześniejszych równości możemy zapisać:
\(\displaystyle{ \vec{u} \circ \vec{v}=\frac{1}{2}((x_{1}+x_{2})^{2}+(y_{1}+y_{2})^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-y_{1}^{2}-y_{2}^{2})}\)
\(\displaystyle{ \vec{u} \circ \vec{v}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}\), c.n.u.