Przekształcenie prostej w figurach

[Glazzz]

Liczę na dokładnie opisaną pomoc, bo już nawet we wzorach się pogubiłem.
1. Jaki warunek musi spełniać współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych, aby prosta przecinała odcinek \(\displaystyle{ A = (3,0), B = (3,2)}\)?

2. Znajdź równanie symetralnej odcinka AB, jeśli \(\displaystyle{ A = (-5,-2), B = (7,6)}\).

3. Znajdź współrzędne punktu symetrycznego do punktu \(\displaystyle{ P = (2,3)}\) względem prostej \(\displaystyle{ y = - \frac{1}{2} x - 4}\).

4. Oblicz odległość punktu \(\displaystyle{ A = (-1,3)}\) od prostej \(\displaystyle{ 2x - y + 3 = 0}\).

[anna_]

2.
a) Równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B
b) Wspólrzędne śrobka odcinka AB
c) Równanie prostej prostopadłej do prostej wyznaczonej w a) i przechodzącej przez punkt znaleziony w b)

4.
Wzór na odległość \(\displaystyle{ d}\) punktu \(\displaystyle{ P(x,y)}\) od prostej \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\) :
\(\displaystyle{ d=\frac{\left | Ax+By+C \right |}{ \sqrt{A^2+B^2}}}\)

[Dasio11]

1)
Prosta przechodząca przez punkty:\(\displaystyle{ (0,0)}\) i \(\displaystyle{ A=(3,0)}\):
\(\displaystyle{ g(x)=ax+b \\
g(0)=b=0 \\
g(3)=3a+b=0 \\
a=0 \\
g(x)=0 \\}\)

Prosta przechodząca przez punkty \(\displaystyle{ (0,0)}\) i \(\displaystyle{ B=(3,2)}\):
\(\displaystyle{ h(x)=ax+b \\
h(0)=b=0 \\
h(3)=3a+b=2 \\
a=\frac{2}{3} \\
h(x)=\frac{2}{3} x \\}\)

W funkcji przecinające odcinek \(\displaystyle{ |AB|}\) współczynnik kierunkowy musi być większy lub równy współczynnikowi kierunkowemu funkcji, której wykres przechodzi przez punkty:\(\displaystyle{ (0,0)}\) i \(\displaystyle{ A=(3,0)}\) oraz mniejszy lub równy wsp. kier. funkcji, której wykres przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ (0,0)}\) i \(\displaystyle{ B=(3,2)}\). Zatem:
\(\displaystyle{ 0\le a\le \frac{2}{3} \Leftrightarrow a \in <0, \frac{2}{3} >}\)

2.
Równanie prostej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A,B}\):
\(\displaystyle{ g(x)=ax+b \\
g(-5)=b-5a=-2 \\
g(7)=7a+b=6 \\
12a=8 \\
\\
a=\frac{2}{3} \\
\\
b=\frac{4}{3} \\
\\
g(x)=\frac{2}{3} x+\frac{4}{3} \\}\)

Punkt dzielący odcinek \(\displaystyle{ AB}\) na 2 równe części:

\(\displaystyle{ C=(\frac{7+(-5)}{2}, \frac{6+(-2)}{2})=(1,2) \\}\)

Symetryczna odcinka \(\displaystyle{ |AB|}\) musi być prostopadła do \(\displaystyle{ g(x)}\):

\(\displaystyle{ f(x)=ax+b \\
a=\frac{-1}{\frac{2}{3}}=-1,5}\)

oraz przechodzić przez punkt \(\displaystyle{ C=(1,2)}\):

\(\displaystyle{ f(x)=-1,5x+b \\
f(1)=b-1,5=2 \\
b=3,5 \\
f(x)=-1,5x+3,5}\)

I to jest nasza symetralna.

3.
Oznaczmy ten punkt jako \(\displaystyle{ Q}\):
Ten punkt będzie należał do prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ y=-\frac{1}{2}x-4}\):
\(\displaystyle{ f(x)=ax+b \\
\\
a=\frac{-1}{-\frac{1}{2}} \\
\\
a=2 \\
P \in f(x)=2x+b \\
f(2)=4+b=3 \\
b=-1 \\
f(x)=2x-1}\)

Miejsce przecięcia prostych:

\(\displaystyle{ y=-\frac{1}{2}x-4=2x-1 \\
\\
x=-\frac{6}{5} \\
\\
y=-\frac{17}{5} \\}\)

Punkt \(\displaystyle{ Q}\):

\(\displaystyle{ Q=(2 \cdot (-\frac{6}{5})-2, \ 2 \cdot (-\frac{17}{5})-3) \\
\\
Q=(-\frac{22}{5} , \ -\frac{49}{5})}\)

4.
\(\displaystyle{ 2x-y+3=0 \\
y=2x+3 \\
g(x)=2x+3}\)

Prosta do niej prostopadła zawierająca punkt \(\displaystyle{ A=(-1,3)}\):

\(\displaystyle{ f(x)=ax+b \\
a=\frac{-1}{2} \\
a=-\frac{1}{2} \\
f(-1)=-\frac{1}{2} \cdot (-1)+b=3 \\
\\
b=2\frac{1}{2} \\
\\
f(x)=-\frac{1}{2} x+2\frac{1}{2}}\)

Punkt przecięcia prostych:

\(\displaystyle{ 2x+3=-\frac{1}{2} x+2.5 \\
x=-\frac{1}{5} \\
\\
y=2\frac{3}{5} \\
C=(-\frac{1}{5}, \ 2\frac{3}{5}) \\}\)

Odległość między punktami równa się odległości między punktem \(\displaystyle{ A}\) a prostą \(\displaystyle{ y=2x+3}\):

\(\displaystyle{ d^2=(3-2\frac{3}{5})^2+ ((-1)-(-\frac{1}{5}))^2 \\
d^2=\frac{20}{25} \\
\\
d=\sqrt{\frac{4}{5}}}\)