okrąg,prosta, odległośc cieciwa

[lukamar123]

potrzebuje pilnie pomocy z zadaniami:
1. Znajdź równanie krzywej, która tworzą wszystkie punkty jednakowo odległem od okręgu
\(\displaystyle{ x^{2}}\)+\(\displaystyle{ y^{2}}\) -2y=0 i prostej y+1=0.
2.Znajdź zbiór środków wszystkich cięciw okręgu \(\displaystyle{ x^{2}}\)+\(\displaystyle{ y^{2}}\)+4y+3=0 wyznaczone przez proste przechodzące przez pkt p=(0,1)
z góry dzieki.

[gott314]

Ad 1)
Niech \(\displaystyle{ P(w,z)}\) to punkt równo oddalony od prostej i okręgu.
Odległość punktu \(\displaystyle{ P}\) od prostej wynosi:
\(\displaystyle{ d=|z+1|}\)
Przekształcając równanie okręgu do postaci kanonicznej otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x^{2}+(y-1)^{2}=1}\)
Niech \(\displaystyle{ A}\) to dowolny punkt należący do okręgu.
Zatem:
\(\displaystyle{ |AP|=d}\)
Ale \(\displaystyle{ |AP|=|OP|-|OA|=|OP|-r=|OP|-1}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) to promień okręgu, a \(\displaystyle{ O}\) to jego środek.
Więc:
\(\displaystyle{ |z+1|=|OP|-1}\)
\(\displaystyle{ |z+1|=\sqrt{w^{2}+(z-1)^{2}}-1}\)
Wyliczając z tego \(\displaystyle{ z}\) otrzymujemy równanie krzywej:
\(\displaystyle{ z = \frac{1}{6}w^{2}-\frac{1}{2}}\)

[little weirdo]

Podpinam się do tematu - też właśnie mam problem z drugim zadaniem -- 3 maja 2009, 14:58 --Już mam!

----------------------------
\(\displaystyle{ y^{2}+x^{2}+4y+3=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+(y+2)^{2}=1}\)
\(\displaystyle{ S=(0,-2)}\) - środek najdłuższej cięciwy



równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P=(0,1)}\) \(\displaystyle{ y=ax + 1}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}
y=ax + 1\\
y^{2}+x^{2}+4y+3=0\end{cases}\\}\)

\(\displaystyle{ x^{2}+(ax+1)^{2}+4(ax+1)+3=0}\)
\(\displaystyle{ (1+a^{2})x^{2}+6ax+8=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=36a^{2}-32a^{2}-32=4(a^{2}-8)}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= 2\sqrt{a^{2}-8}}\)

Wyznaczamy punkty styczności z okręgiem:

\(\displaystyle{ \Delta=0}\)
\(\displaystyle{ 4(a^{2}-8)=0}\)
\(\displaystyle{ a^{2}=8}\)
\(\displaystyle{ a=2 \sqrt{2} \vee a=-2 \sqrt{2}}\)

-------------------------------------------------------------

\(\displaystyle{ a=2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{-6a}{2(1+a^{2})}= \frac{-6 \sqrt{2} }{9}= -\frac{2 \sqrt{2} }{3}}\)
\(\displaystyle{ y=ax+1=2 \sqrt{2} \cdot (-\frac{2 \sqrt{2} }{3})+1= -\frac{5}{3}}\)

\(\displaystyle{ A=(-\frac{2 \sqrt{2} }{3},-\frac{5}{3})}\)
-------------------------------------------------------------

\(\displaystyle{ a=-2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{-6a}{2(1+a^{2})}= \frac{6 \sqrt{2} }{9}= \frac{2 \sqrt{2} }{3}}\)
\(\displaystyle{ y=ax+1=-2 \sqrt{2} \cdot (\frac{2 \sqrt{2} }{3})+1= -\frac{5}{3}}\)

\(\displaystyle{ A'=(\frac{2 \sqrt{2} }{3},-\frac{5}{3})}\)

-------------------------------------------------------------

Teraz wyznaczamy punkty będącymi środkami cięciw:

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= 2\sqrt{a^{2}-8}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{-6a+2\sqrt{a^{2}-8}}{2(1+a^{2})}= \frac{-3a+\sqrt{a^{2}-8}}{1+a^{2}}}\)
\(\displaystyle{ y_{1}=ax+1=\frac{-3a^{2}+a\sqrt{a^{2}-8}}{1+a^{2}}+1}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{-3a-\sqrt{a^{2}-8}}{1+a^{2}}}\)
\(\displaystyle{ y_{2}=\frac{-3a^{2}-a\sqrt{a^{2}-8}}{1+a^{2}}+1}\)


\(\displaystyle{ (x,y)=( \frac{x_{1}+x_{2}}{2} , \frac{y_{1}+y_{2}}{2} )=}\)
\(\displaystyle{ =( \frac{-3a+ \sqrt{a^{2}-8} -3a+ \sqrt{a^{2}-8} }{2(1+a^{2})}, \frac{-3a^{2}+a\sqrt{a^{2}-8}-3a^{2}-a\sqrt{a^{2}-8}}{2(1+a^{2})} +1 )=}\)
\(\displaystyle{ =( \frac{-3a}{1+a^{2}} ,\frac{-3a^{2}}{1+a^{2}}+1)}\)

Mamy więc: \(\displaystyle{ x=\frac{-3a}{1+a^{2}}}\) i \(\displaystyle{ y=\frac{-3a^{2}}{1+a^{2}}+1)}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{-3a}{1+a^{2}}}\)
\(\displaystyle{ x+xa^{2}=-3a}\)
\(\displaystyle{ xa^{2}+3a=x=0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= \sqrt{9-4x ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{-3 \pm \sqrt{9-4x ^{2} } }{2x}}\)

\(\displaystyle{ y=ax+1}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{-3 \pm \sqrt{9-4x ^{2} } }{2}+1}\)
\(\displaystyle{ y-1= -\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{9-4x ^{2}}\)
\(\displaystyle{ (y+ \frac{1}{2})^{2} = (\pm \frac{1}{2} \sqrt{9-4x ^{2}) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ y^{2}+ \frac{1}{4}+y= \frac{9}{4}-x ^{2}}\)
\(\displaystyle{ y^{2}+x ^{2} +y = \frac{8}{4}}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} +(y+ \frac{1}{2} )^{2}= \frac{9}{4}}\)

Pamiętając o

\(\displaystyle{ S=(0,-2)}\)
\(\displaystyle{ A=(-\frac{2 \sqrt{2} }{3},-\frac{5}{3})}\)
\(\displaystyle{ A'=(\frac{2 \sqrt{2} }{3},-\frac{5}{3})}\)

Podajemy rozwiązanie:

\(\displaystyle{ x ^{2} +(y+ \frac{1}{2} )^{2}= \frac{9}{4}}\)
\(\displaystyle{ x \in (-\frac{2 \sqrt{2} }{3},\frac{2 \sqrt{2} }{3})}\)
\(\displaystyle{ y \in <-2,-\frac{5}{3})}\)