Równanie prostej

[Holly17]

Witam, mam problem z pewnym zadaniem.
Punkty A(5,-1); B(1;1) są symetryczne względem pewnej prostej. Wyznacz jej równanie.

[lina2002]

Oznaczam szukaną prostą przez \(\displaystyle{ k}\). Znajdź równanie prostej \(\displaystyle{ AB}\). Z warunku prostopadłości wyznacz współczynnik kierunkowy prostej \(\displaystyle{ k}\). Skorzystaj jescze z faktu, że punkt będący środkiem odcinka \(\displaystyle{ AB}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ ( \frac{5+1}{2}, \frac{-1+1}{2})}\) i leży na prostej \(\displaystyle{ k}\).

Pozdrawiam.

[Dasio11]

Równanie prostej przechodzącej przez te 2 punkty:

\(\displaystyle{ f(x)=ax+b \\
f(5)=-1 \\
f(1)=1 \\
\begin{cases} 5a+b=-1 \\ a+b=1 \end{cases} \\
a=-\frac{1}{2} \\
b=1\frac{1}{2} \\
f(x)=-\frac{1}{2} x +1\frac{1}{2}}\)

Środek odcinka łączącego te 2 punkty:

\(\displaystyle{ C=(\frac{5+1}{2} ,\frac{-1+1}{2} )=(3,0)}\)

Wiemy, że wykresy funkcji liniowych są do siebie prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \(\displaystyle{ -1}\). Zatem funkcja, względem wykresu której te punkty są do siebie symetryczne, ma współczynnik kierunkowy \(\displaystyle{ a=\frac{-1}{-\frac{1}{2}}=2}\) i przechodzi przez punkt C=(3,0). Mamy zatem:

\(\displaystyle{ f(x)=2x+b \\
f(3)=0 \\
2 \cdot 3 +b=0 \\
b=-6 \\
f(x)=2x-6}\)

[Holly17]

Dziękuje bardzo. Bardzo mi pomogliście.