Miary kątów między wektorami

[borubar]

Mam problem z pewnymi zadankami, najpierw były tylko dwa potem doszły następne.

Dane są punkty A i B. Na prostej będącej wykresem danej funkcji liniowej f znajdź punkt taki punkt C by \(\displaystyle{ \left| \sphericalangle ACB=90 \right}\)

a) \(\displaystyle{ A(-4,4) B (-2,-3) f(x)=-2x}\)

Drugie zadanko brzmi

Znajdź miarę kąta pomiędzy wektorami a i b, jeśli wiadomo że \(\displaystyle{ \left| \vec{a} \right|= \left| \vec{b} \right|}\) oraz wektory \(\displaystyle{ \vec{u} =2* \vec{a} + \vec{b}}\)oraz \(\displaystyle{ \vec{v}=5* \vec{b} - 4* \vec{a}}\) są prostopadłe.

Trzecie natomiast

Pole trójkąta prostokątnego jest równe \(\displaystyle{ 54cm^2}\). Długość jednego boku jest średnią arytmetyczną długości dwóch pozostałych boków. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Dzięki z góry !!!

[xiikzodz]

a) \(\displaystyle{ C}\) ma leżeć na prostej \(\displaystyle{ y=-2x}\), czyli \(\displaystyle{ C}\) jest postaci \(\displaystyle{ (c,-2c)}\).

\(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}=(c+4,-2c-4)}\)

\(\displaystyle{ \overrightarrow{BC}=(c+2,-2c+3)}\)

Mają być prostopadłe, czyli:

\(\displaystyle{ 0=\overrightarrow{AC}\circ \overrightarrow{BC}=(c+4)(c+2)+(-2c-4)(-2c+3)=5c^2+8c-4}\)

i wystarczy rozwiązać równanie kwadratowe ze względu na zmienną \(\displaystyle{ c}\).

Wychodzi \(\displaystyle{ \Delta=12}\), skąd rozwiązania:

\(\displaystyle{ c_1=-2}\)

\(\displaystyle{ c_2=\frac 25}\)

czyli są dwa takie punkty:

\(\displaystyle{ C_1=(-2,4)}\)

\(\displaystyle{ C_2=\left(\frac 25,-\frac 45\right)}\).

Inna opcja to wypisanie równania okręgu o średnicy \(\displaystyle{ AB}\) i przecięciu go z prostą \(\displaystyle{ y=-2x}\), czyli rozwiązanie układu równań. Ale nieco więcej rachowania.

[xaoc]

Nie chcę zakładać nowego tematu a mam identyczne zadanie jak drugie kolegi:
doszedłem do:

\(\displaystyle{ 10 \vec{a} \vec{b}-4 \vec{a} \vec{b} = 0}\)
Nie mam pojęcia jak wykorzystać to że:
\(\displaystyle{ \left| \vec{a} \right| = \left| \vec{b} \right|}\)

Prosiłbym tak łopatologicznie bo wektory to dla mnie trudna sprawa.