okrąg styczny do ramion kąta
-
olussskaaa
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 1 wrz 2008, o 17:06
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 12 razy
okrąg styczny do ramion kąta
Prosta \(\displaystyle{ k: y = x}\) jest jedną z dwusiecznych kątów, których ramiona zawierają się w prostych \(\displaystyle{ l: 2x-y=0}\) oraz \(\displaystyle{ m: x-2y = 0}\). Oblicz współrzędne środków okręgów o promieniach \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) stycznych do ramion tych kątów.
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
okrąg styczny do ramion kąta
Dwusieczna kąta jest zbiorem punktów równoodległych od ramion kąta, wobec czego środek dwóch z szukanych okręgów leży na prostej \(\displaystyle{ k}\) i w konsekwencji ma on współrzędne postaci \(\displaystyle{ (x,x)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\).
Co więcej, wobec styczności okręgu do prostych \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ m}\), odległość środka okręgu od każdej z prostych \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ m}\) jest równa promieniowi okręgu.
Zatem ze wzoru na odległość punktu od prostej wynika, że \(\displaystyle{ \sqrt{5}=\frac{|2x-x|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{|x|}{\sqrt{5}}}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{5}=\frac{|x-2x|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\frac{|x|}{\sqrt{5}}}\). Stąd dostajemy \(\displaystyle{ |x|=5}\), czyli \(\displaystyle{ x=-5}\) lub \(\displaystyle{ x=5}\).
Środki tych okręgów znajdują się więc w punktach \(\displaystyle{ (-5,-5)}\) i \(\displaystyle{ (5,5)}\).
Środki pozostałych dwóch okręgów można wyznaczyć rozumując analogicznie, stosując obliczenia do drugiej dwusiecznej - prostej o równaniu \(\displaystyle{ y=-x}\) (czyli środki dwóch okręgów mają współrzędne postaci \(\displaystyle{ (x,-x)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}).}\)
Co więcej, wobec styczności okręgu do prostych \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ m}\), odległość środka okręgu od każdej z prostych \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ m}\) jest równa promieniowi okręgu.
Zatem ze wzoru na odległość punktu od prostej wynika, że \(\displaystyle{ \sqrt{5}=\frac{|2x-x|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{|x|}{\sqrt{5}}}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{5}=\frac{|x-2x|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\frac{|x|}{\sqrt{5}}}\). Stąd dostajemy \(\displaystyle{ |x|=5}\), czyli \(\displaystyle{ x=-5}\) lub \(\displaystyle{ x=5}\).
Środki tych okręgów znajdują się więc w punktach \(\displaystyle{ (-5,-5)}\) i \(\displaystyle{ (5,5)}\).
Środki pozostałych dwóch okręgów można wyznaczyć rozumując analogicznie, stosując obliczenia do drugiej dwusiecznej - prostej o równaniu \(\displaystyle{ y=-x}\) (czyli środki dwóch okręgów mają współrzędne postaci \(\displaystyle{ (x,-x)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}).}\)