Kwadrat, współrzędne przeciwległych wierzchołków

AZS06 · Post autor: **AZS06** » 26 kwie 2009, o 00:04

Punkty \(\displaystyle{ A = (-2,2), C = (4,0)}\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Oblicz współrzędne wierzchołków B i D.

Moje etapy obliczeń:
1. Odległość punktów AC, a więc długość przekątnej w kwadracie = \(\displaystyle{ 2\sqrt{10}}\)
2. Wzór prostej AC \(\displaystyle{ 3y = -x + 4}\)
3. Środek przekątnej, gdyż obie przekątne przecinają się dokładnie w środku i pod kątem prostym. \(\displaystyle{ S = (1,1)}\)
4. Wyznaczam wzór prostej przechodzącej przez środek a także wierzchołki B i D \(\displaystyle{ y - 3x - 2}\)
5. I teraz mam kłopot z wyznaczeniem tych współrzędnych..

xiikzodz · Post autor: **xiikzodz** » 26 kwie 2009, o 00:31

Nieco łatwiej będzie tak:

1. Środek odcinka \(\displaystyle{ AC}\) to \(\displaystyle{ S=(1,1)}\)
2. Wektor prostopadły do wektora \(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}=(6,-2)}\) o długości równej połowie długości \(\displaystyle{ AC}\) to \(\displaystyle{ u=(1,3)}\).
3. Pozostałe wierzchołki kwadratu to \(\displaystyle{ S+u=(1,1)+(1,3)=(2,4)}\) oraz \(\displaystyle{ S-u=(1,1)-(1,3)=(0,-2)}\).

AZS06 · Post autor: **AZS06** » 26 kwie 2009, o 14:06

A jest możliwość rozwiązania tego zadania tym moim zaczerpniętym sposobem ??
Bo to co napisał xiikzodz jest nie do końca dla mnie zrozumiałe.
Pozdrawiam

Marcin_Garbacz · Post autor: **Marcin_Garbacz** » 26 kwie 2009, o 14:09

Twój sposob tez jest bardzo dobry, możesz skorzystać ze wzoru na odległość prostej od punktu. Odległością punktu od prostej będzie połowa przekątnej. Albo odległość wierzchołka od srodka przekątnej (czyli wzór na długość odcinka). Ewentualnie jak wyżej napisane z pomocą wektorów

AZS06 · Post autor: **AZS06** » 26 kwie 2009, o 14:15

Nom zatrzymałem się na etapie takim:

\(\displaystyle{ |S_{AC} B| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{10} = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2 }}\)
\(\displaystyle{ 10 = (x - 1)^2 + (y - 1)^2}\)

Marcin_Garbacz · Post autor: **Marcin_Garbacz** » 26 kwie 2009, o 14:19

Nie wiem jakie równanie ma prosta przekątnej BD, ale wiedząc to możesz zapisać współrzedne punktu w ten sposob ze np.

y=5x+4 (to jest przykładowe równanie przekątnej BD), wiec punkt np D ma wspolrzedne (x,y) gdzie y=5x+4 czyli D(x,5x+4). Masz jedno niewiadomo i mozesz podsatwić w miejsce wzoru.

xiikzodz · Post autor: **xiikzodz** » 26 kwie 2009, o 16:35

Rozwiązanie z wektorami korzysta jedynie z następującego prościutkiego faktu:

Wektory \(\displaystyle{ (-y,x)}\) oraz \(\displaystyle{ (y,-x)}\) są prostopadłe do wektora \(\displaystyle{ (x,y)}\) i mają tę samą co on długość.

Równanie prostej i okręgu masz ok, wystarczy rozwiązać:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=3x-2 \\ (x-1)^2+(y-1)^2=10 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ y}\) z pierwszego równania wstawiamy do drugiego:

\(\displaystyle{ (x-1)^2+(3x-2-1)^2=10}\),

czyli

\(\displaystyle{ (x-1)^2+(3x-3)^2=10}\)

podnosimy nawiasy do kwadratu:

\(\displaystyle{ x^2-2x+1+9x^2-18x+9=10}\)

redukujemy:

\(\displaystyle{ 10x^2-20x=0}\)

skąd:

\(\displaystyle{ x(10x-20)=0}\)

A to daje rozwiązania:

\(\displaystyle{ x_1=0\Longrightarrow y_1=3x_1-2=-2}\) - punkt \(\displaystyle{ (0,-2)}\)

\(\displaystyle{ x_2=2\Longrightarrow y_2=3x_2-2=4}\) - punkt \(\displaystyle{ (2,4)}\)

W zrozumieniu, czemu użycie wektorów tak ułatwia zadanie może pomóc rysunek poniżej zawierający wszystkie elementy obu rozwiązań:

AZS06 · Post autor: **AZS06** » 27 kwie 2009, o 19:40

Dziękuje bardzo za pomoc..
Pozdrawiam :>