pole wektorowe

[Jacek_fizyk]

Prosze o pomoc w rozwiazaniu zadania:
Wyznacz a i b tak aby pole wektorowe
\(\displaystyle{ (x^2+2xy+ay^2,4xy+bx^2)}\)
bylo konservatywne oraz znajdz potencjal \(\displaystyle{ U(x,y)}\)
1) znajduje pochodne wyrazen:
\(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x}(4xy+bx^2)= 4y+2bx}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial y}(x^2+2xy+ay^2)= 2x+2ay}\) ale dalej nic mi sensownego nie wychodzi

prosze o pomoc w rozwiazaniu!
W odpowiedziach jest \(\displaystyle{ a= 2, b= 1}\)

potencjal \(\displaystyle{ U(x,y) = \frac{1}{3}x^3+x^2y+2y^2x+h(y)}\)
rozniczkowanie po y daje \(\displaystyle{ 4xy+x^2=x^2+4xy+h'(y) = C}\)

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ 4y+2bx=2ay+2x}\), a stąd masz a i b, bo x i y to zmienne niezależne, więc wystarczy porównać współczynniki przy x osobno, przy y osobno.
Co do potencjału - po przyrównaniu wychodzi Ci h'(y)=0, czyli h=c jest dowolną stałą i masz
\(\displaystyle{ U(x,y) = \frac{1}{3}x^3+x^2y+2y^2x+c}\)
Potencjałów jest nieskończenie wiele, więc ogólny wzór zawiera stałą.

Pozdrawiam.

[Jacek_fizyk]

\(\displaystyle{ 4y+2bx=2ay+2x}\), a stąd masz a i b, bo x i y to zmienne niezależne, więc wystarczy porównać współczynniki przy x osobno, przy y osobno.
Co do potencjału - po przyrównaniu wychodzi Ci h'(y)=0, czyli h=c jest dowolną stałą i masz
\(\displaystyle{ U(x,y) = \frac{1}{3}x^3+x^2y+2y^2x+c}\)
Potencjałów jest nieskończenie wiele, więc ogólny wzór zawiera stałą.

Pozdrawiam.

hej! Dzieki kolejny raz za konkretna pomoc. Mozesz mi jeszcze 'wyoslic' jak znalazlas ten potencjal? wyglada to tak jakbys calkowala poprzednie pochodne.....Przygotowuje sie do kolokwium a pola wektorowego wogole nie przerobili z nami....


jak na przyklad rozwiazac:
znac a, b, c tak aby pole wektorowe \(\displaystyle{ (3x^2+axy+z^2, 2x^2+3y^2+bz, 2z+y+cxz)}\) jest konserwatywne oraz znajdz potencjal \(\displaystyle{ U(x,y,z)}\)

[BettyBoo]

Ty znalazłeś potencjał, ja tylko dokończyłam Twoje obliczenia Doszedłeś do równania \(\displaystyle{ 4xy+x^2=x^2+4xy+h^{'} (y)}\), z którego wynika dokładnie to, co napisałam.

Dla pola wektorowego w przestrzeni : pole F=[M,N,P] jest konserwatywne jeśli, w skrócie pisząc \(\displaystyle{ F\times \nabla=0}\), a rozpisując - gdy zachodzą warunki - \(\displaystyle{ \frac{ \partial P}{ \partial y}=\frac{ \partial N}{ \partial z},\ \frac{ \partial P}{ \partial x}=\frac{ \partial M}{ \partial z},\ \frac{ \partial M}{ \partial y}=\frac{ \partial N}{ \partial x}}\)

Aby znaleźć potencjał trzeba się 3 razy bawić w całkowanie i różniczkowanie - najpierw całkujesz np pierwszą współrzędną po x i otrzymujesz pierwszą postać U, przy czym stała będzie zależna do y i z; potem różniczkujesz U po y i przyrównujesz do drugiej współrzędnej - z tego obliczasz jak stała zależy od y i otrzymujesz kolejną postać U, w której stała zależy juz tylko od z; różniczkujesz nową postać U po z i przyrównujesz do trzeciej współrzędnej, skąd otrzymujesz ostateczną postać.

Pozdrawiam.