równoległobok ABCD

[acka]

Punkty A(6,4) ,B(-3,7), C(-2,0) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Oblicz :
a)współrzędne punktu D
b)wysokość równoległoboku
c)pole równoległoboku

[Natasha]

a).
1. Oblicz równanie prostej \(\displaystyle{ AB}\)
2. Równanie prostej \(\displaystyle{ CD}\), czyli równoległej do AB przechodzącej przez punkt C.
3. Równanie prostej \(\displaystyle{ BC}\)
4. Równanie prostej \(\displaystyle{ AD}\) równoległej do \(\displaystyle{ BC}\) przechodzącej przez punkt A.
5. Przyrównaj proste \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ CD}\), wyjdzie punkt D.

b). Napisz równanie prostej \(\displaystyle{ CE}\) (E to spodek wysokości), prostopadłej do AB przechodzącej przez punkt C. Później dł odcinka CE- szukana wysokość

c). Policz dł. odcinka \(\displaystyle{ AB}\), wysokość już bedziesz mieć policzoną. \(\displaystyle{ Pole = AB*CE}\).

[acka]

a czy moglabys mi przyblizyc mniej wiecej jak to mam obliczyć??

[Natasha]

No to tak:

y AB:

\(\displaystyle{ \begin{cases}4=6a+b\\7=-3a+b\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ b=3a+7}\)
\(\displaystyle{ 4=6a+3a+7}\)

\(\displaystyle{ a=- \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ b= 6}\)

\(\displaystyle{ y=- \frac{1}{3}x+6}\)

i teraz prosta CD

\(\displaystyle{ y=-\frac{1}{3}+b}\)
\(\displaystyle{ C(-2,0)}\)

\(\displaystyle{ 0=-\frac{1}{3}*(-2)+b}\)
\(\displaystyle{ b=-\frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ y= -\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}}\)

i równanie prostej BC

\(\displaystyle{ \begin{cases}0=-2a+b\\7=-3a+b\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ b=2a}\)
\(\displaystyle{ 7=-3a+2a}\)
\(\displaystyle{ a=-7}\)
\(\displaystyle{ b=-14}\)

\(\displaystyle{ y=-7x-14}\)

i równanie prostej AD
\(\displaystyle{ y=-7x+b}\)
\(\displaystyle{ A(6,4)}\)

\(\displaystyle{ 4=-7*6+b}\)
\(\displaystyle{ b=46}\)

\(\displaystyle{ y=-7x+46}\)

i przyrównujemy proste AD i CD.

\(\displaystyle{ -\frac{1}{3}-\frac{2}{3}= -7x+46}\)
\(\displaystyle{ -x-2=-21x+138}\)
\(\displaystyle{ 20x=140}\)
\(\displaystyle{ x=7}\)
\(\displaystyle{ y=-3}\)

\(\displaystyle{ D(7,-3)}\)

---------
Wysokość:

skoro prosta Ab ma współczynnik \(\displaystyle{ a = - \frac{1}{3}}\)

to proste CE będą prostopadłe, gdy iloczyn współczynników kierunkowych będzie równy -1, więc

\(\displaystyle{ - \frac{1}{3}*a=-1}\)
\(\displaystyle{ a=3}\)

wiec prosta CE:

\(\displaystyle{ y=3x+b}\)
\(\displaystyle{ C(-2,0)}\)
\(\displaystyle{ 0=-6+b}\)
\(\displaystyle{ b=6}\)
\(\displaystyle{ y=3x+6}\)
i przyrównujemy proste AB i CE:

\(\displaystyle{ 3x+6=- \frac{1}{3}x+6}\)
\(\displaystyle{ x=0}\)
\(\displaystyle{ y=6}\)
\(\displaystyle{ E(0,6)}\)

\(\displaystyle{ |CE|= \sqrt{(0+2) ^{2}+(6-0)^{2} }= \sqrt{40}= 2 \sqrt{10}}\)

\(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{(6+3)^{2}+(4-7)^{2}}= 3 \sqrt{10}}\)

\(\displaystyle{ P=3 \sqrt{10} *2 \sqrt{10} = 60}\)