Tangens kąta zawartego między prostymi

[Tom555]

Witam, mam takie zadanko

Na płaszczyźnie z układem współrzędnych dane sa punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oraz proste \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) tworzące z prostą o równaniu \(\displaystyle{ y=0}\) kąty o równych miarach.
Oblicz tangens kąta \(\displaystyle{ \beta}\)

Proste mają równania
\(\displaystyle{ k: 2x+3y+4=0\\
l:2x-3y+4=0}\)

Nie wiem jak to ruszyć. Myślałem żeby jakoś kombinowac
\(\displaystyle{ \tg \left( 180 - 2\alpha \right)}\) ale jedna wartość \(\displaystyle{ \tg \alpha}\) jest ujemna a druga dodatnia więc zgłupiałem

[Martinsgall]

wyznacz pkt przecięcia sie prostych \(\displaystyle{ k,l}\)
punkt przecięcia się prostej \(\displaystyle{ l}\) z osią \(\displaystyle{ y}\)
dzięki temu masz wszystkie współrzędne tego małego trójkąta z kątem \(\displaystyle{ \alpha}\), czyli możesz wyliczyć ich długości
wyliczasz sobie \(\displaystyle{ \tg \alpha}\) z tego trójkąta
wyliczasz \(\displaystyle{ \tg 2 \alpha}\) ze wzoru który jest w tablicach matematycznych
następnie zapisujesz
\(\displaystyle{ \tg \beta=-\tg \left( 180-2\alpha \right)}\)

Jak się nie mylę to powinno wyjść, prawdopodobnie jest tez jakiś łatwiejszy sposób ale puki co nie wiedzę jaki.

[Tom555]

Ale można wyliczyć \(\displaystyle{ \[tg2\alpha \]}\) skoro jeden kąt jest ostry a drugi rozwarty, w związku z czym wartości tangensa sa różnych znaków? Równie dobrze można by poprowadzić prostą prostopadłą do osi OX przechodzącą przez punkt A i wtedy liczyć \(\displaystyle{ \[tg2\alpha \]}\) i znak byłby inny.

Myślałem żeby całą "konstrukcję" prostych k i l obrócić o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) i wtedy prosta l znalazłaby się na osi OX a po drugiej stronie utworzyłby się kąt \(\displaystyle{ 2 \alpha}\), którego dwusieczną byłaby prosta k. Nie liczyłem tego jeszcze, zobaczę co wyjdzie

[Marcin_Garbacz]

mozesz skorzystać z wzoru:

\(\displaystyle{ \tg \alpha=\left| \frac{a_{1}-a_{2}}{1+a_{1} \cdot a_{2}} \right|}\)

gdzie \(\displaystyle{ a_{1},a_{2}}\) to współczynniki kierunkowe obu prostych.

[Martinsgall]

mozesz skorzystać z wzoru:

\(\displaystyle{ \tg \alpha=| \frac{a_{1}-a_{2}}{1+a_{1}*a_{2}} |}\)

gdzie \(\displaystyle{ a_{1},a_{2}}\) to współczynniki kierunkowe obu prostych.

Możesz mi podać co to za wzór albo jakiś link gdzie jest on opisany bo wygląda interesująco i skorzys an ie z niego było by chyba najprostszym rozwiązaniem tego zad tyle ze z twojego wzoru jeśli dobrze rozumiem miał chyba wyjść odrazu \(\displaystyle{ \tg \beta}\) a według mnie wyszedł \(\displaystyle{ \tg 2\alpha}\) więc może jest min us przed tym wzorem ?

-- 19 kwietnia 2009, 11:59 --

Ale można wyliczyć \(\displaystyle{ \[\tg 2\alpha \]}\) skoro jeden kąt jest ostry a drugi rozwarty, w związku z czym wartości \(\displaystyle{ \tan}\) gensa sa różnych znaków? Równie dobrze można by poprowadzić prostą prostopadłą do osi OX przechodzącą przez punkt A i wtedy liczyć \(\displaystyle{ \[\tg 2\alpha \]}\) i znak byłby inny.

Myślałem żeby całą "konstrukcję" prostych k i l obrócić o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) i wtedy prosta l znalazłaby się na osi OX a po drugiej stronie utworzyłby się kąt \(\displaystyle{ 2 \alpha}\), którego dwusieczną byłaby prosta k. Nie liczyłem tego jeszcze, zobaczę co wyjdzie

hmm nie do końca wiem o co ci chodzi, może po prostu ja tu czegoś nie rozumiem. Więc pokusiłem się o rozwiązanie zadania i dalej nie rozumiem czemu nie można zrobić tak jak napisałem
obliczyłem \(\displaystyle{ \tg \alpha=\frac{2}{3}}\) czyli \(\displaystyle{ \[\alpha \]}\) to cos około \(\displaystyle{ 33,7^{o}}\)
podstawiłem pod wzór i wyszło mi ze \(\displaystyle{ \[\tg 2\alpha \]}\)\(\displaystyle{ = \frac{12}{5}}\)
czyli \(\displaystyle{ \tg \beta =-\frac{12}{5}}\). A \(\displaystyle{ \[\beta \]}\) to coś około \(\displaystyle{ 112,62^{o}}\)
nawiązując do tego co napisałeś to nie wiem o co ci chodzi z tym ze drugi jest rozwarty i nie można obliczyć \(\displaystyle{ \[\tg 2\alpha \]}\)?? Lecz może się mylę więc jak już wpadłeś na pomysł jak to rozwiązać to powiedz czy wyszło ci coś innego

[Marcin_Garbacz]

Tzn nie wczytywałem sie w zadanie i ten wzór to przepis ogolny. Tzn ten wzór wyznacza kat mniejszy miedzy prostymi nie większy niż kat prosty.
Linka za bardzo podac nie moge ale wpisz w google: Kąt między dwiema prostymi to znajdzie wiele źrodel i wyprowadzenie tez spotkasz

[Martinsgall]

Dzięki znalazłem go w trochę innej formie ale na jedno wychodzi
w tym wypadku ten wzór wyznacza kąt \(\displaystyle{ 2\alpha}\) gdyż jego definicja to:
Kątem między prostymi nazywamy mniejszy z wyznaczonych przez nie kątów. Jest on nie większy od kąta prostego.
czyli to jest drugi sposób chyba prostszy
z wzoru
\(\displaystyle{ tg\varphi=\frac{A_1 B_2-A_2 B_1}{A_1 A_2+B_1 B_2}}\)
lub tego co podał Marcin wyznaczasz \(\displaystyle{ tg2\alpha}\)
później podstawiasz ze \(\displaystyle{ -tg 2\alpha=tg(180-2 \alpha) \Rightarrow tg \beta=-tg2\alpha}\)
I wynik jest taki sam jak po rozwiązaniu w sposobie który przedstawiłem ci na początku

[Tom555]

nawiązując do tego co napisałeś to nie wiem o co ci chodzi z tym ze drugi jest rozwarty i nie można obliczyć \(\displaystyle{ \[tg2 \alpha \]}\)?? Lecz może się mylę więc jak już wpadłeś na pomysł jak to rozwiązać to powiedz czy wyszło ci coś innego

Źle popatrzyłem na rysunek i dlatego teraz mówię, że źle myślałem i prawdopodobnie można zastosowac wzór \(\displaystyle{ tg2 \alpha}\). W odpowiedziach jest że \(\displaystyle{ \[tg\beta = - 2,4\]}\) więc jak ktoś to przeliczył i chce znać wynik to prosze:) (jak przeliczę to dam znać czy wyjdzie dobrze, a za małe zamieszanie z kątem rozwartym sory bo tak jak pisałem, źle spojrzałem na rysunek.

Pozdrawiam i dzięki wszystkim za udział w dyskusji

[Martinsgall]

Czyli wynik wyszedł mi poprawny , czyli oba sposoby rozwiązania które podałem są poprawne

[jaajbu]

A ja mam następujące pytanie: jak wyznaczyć równania prostych?

[yoyo12]

A ja mam następujące pytanie: jak wyznaczyć równania prostych?

ja także przyłącze się do prośby czy mógłby ktoś powiedzieć jak to obliczyć równania tych prostych?

pozdrawiam

[matma17]

Witam
Wiem ze temat trochę stary, ale mam to samo zadanie na pracę domową i nie wiem jak zrobić?
Może ktoś z Was ma to zadanko zrobione, albo wie jak zrobić? Prosze o pomoc