Wykazać, że pole trójkąta ograniczonego styczną do wykresu funkcji \(\displaystyle{ y=\frac{2x-3}{x-2}}\) i jego asymptotami jest stałe. Sporządzić rysunek.
Z góry dziękuję za pomoc
Zadanie na dowodzenie.
-
Fibik
- Użytkownik
- Posty: 971
- Rejestracja: 27 wrz 2005, o 22:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 75 razy
Zadanie na dowodzenie.
\(\displaystyle{ y = \frac{2x-3}{x-2} = 2 + \frac{1}{x-2}}\)
asymptota pionowa: x = 2
asymptota pozioma: y = 2
przesuwamy układ współrzędnych o wektor (2,2), wtedy otrzymujemy:
asymptoty: x = 0 i y = 0, oraz równanie y = 1/x
\(\displaystyle{ y^' = -1/x^2}\)
styczna w punkcie (xo, yo) = (xo, 1/xo):
\(\displaystyle{ \large y - y_o = y^'(x-x_o)\\y = \frac{1}{x_o} - \frac{x-x_o}{x_o^2} = \frac{2}{x_o}-\frac{x}{x_o^2}}\)
punkty przecięcia z asymptotami:
\(\displaystyle{ 1. x = 0\ \to\ y = \frac{2}{x_o}}\)
\(\displaystyle{ 2. y = 0\ \to\ 0 = \frac{2}{x_o} - \frac{x}{x_o^2}\ \to x = 2x_o}\)
Pole tego trójkąta:
\(\displaystyle{ \large S = 0.5\frac{2}{x_o}2x_o = 2}\), czyli jest stałe.
asymptota pionowa: x = 2
asymptota pozioma: y = 2
przesuwamy układ współrzędnych o wektor (2,2), wtedy otrzymujemy:
asymptoty: x = 0 i y = 0, oraz równanie y = 1/x
\(\displaystyle{ y^' = -1/x^2}\)
styczna w punkcie (xo, yo) = (xo, 1/xo):
\(\displaystyle{ \large y - y_o = y^'(x-x_o)\\y = \frac{1}{x_o} - \frac{x-x_o}{x_o^2} = \frac{2}{x_o}-\frac{x}{x_o^2}}\)
punkty przecięcia z asymptotami:
\(\displaystyle{ 1. x = 0\ \to\ y = \frac{2}{x_o}}\)
\(\displaystyle{ 2. y = 0\ \to\ 0 = \frac{2}{x_o} - \frac{x}{x_o^2}\ \to x = 2x_o}\)
Pole tego trójkąta:
\(\displaystyle{ \large S = 0.5\frac{2}{x_o}2x_o = 2}\), czyli jest stałe.