Plaszczyzny prostopadle

[szalony]

Zad.
Napisać równanie płaszczyzny, na której leży prosta

\(\displaystyle{ l : \begin{cases} x+z-1=0 \\ x-y+2=0 \end{cases}}\)

i która jest prostopadła do płaszczyzny \(\displaystyle{ x+y+z+1=0}\)


Jakieś pomysły ? Będe wdzięczny za podpowiedź bo nie wiem jak wektor normalny znaleźć ani jak to ugryźć.

[Crizz]

Niech równanie szukanej płaszczyzny ma postać \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\).

Pierwszy warunek: wektor normalny \(\displaystyle{ [1,1,1]}\) płaszczyzny \(\displaystyle{ x+y+z+1=0}\) jest prostopadły do wektora normalnego szukanej płaszczyzny, zatem ich iloczyn skalarny jest równy zeru, czyli:
\(\displaystyle{ A+B+C=0}\)

Drugi i trzeci warunek: wybierasz dowolne dwa punkty leżące na danej prostej, np. \(\displaystyle{ (0,1,2),(3,5,-2)}\). Te punkty jednoznacznie wyznaczają prostą. Współrzędne tych punktów mają spełniać równanie płaszczyzny, zatem:
\(\displaystyle{ B+2C+D=0}\)
\(\displaystyle{ 3A+5B-2C+D=0}\)

Otrzymujesz zatem układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B+C+D=0 \\ B+2C+D=0 \\ 3A+5B-2C+D=0 \end{cases}}\)

Wystarczy znaleźć przykładowe rozwiązanie tego układu, np. dla \(\displaystyle{ A=1}\).
Zauważ, że z drugiego równania mamy \(\displaystyle{ B+C+D=-C}\), podstawiając do pierwszego równania, otrzymujemy \(\displaystyle{ A-C=0}\), czyli \(\displaystyle{ C=A=1}\). Stąd pozostaje rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} B+D=-2 \\ 5B+D=-1 \end{cases}}\)
Wychodzi \(\displaystyle{ B=\frac{1}{4},D=-\frac{9}{4}}\).

Ostatecznie, \(\displaystyle{ x+\frac{1}{4}y+z-\frac{1}{4}=0}\) jest równaniem szukanej płaszczyzny.

Sprawdź dokładnie wszystkie obliczenia.

[BettyBoo]

Inna metoda: za pomocą wektorów

Zauważ, że skoro prosta jest wyznaczona jako przecięcie dwóch płaszczyzn, to jej wektor kierunkowy kjest prostopadły do wektorów normalnych płaszczyzn, zatem jest równoległy do ich iloczynu wektorowego - można przyjąć, że jest mu równy - czyli k=txs, gdzie t=[1,0,1], s=[1,-1,0]

szukana płaszczyzna jest równoległa do podanej prostej i prostopadła do podanej płaszczyzny - wobec tego jej wektor normalny n jest prostopadły do wektora kierunkowego prostej oraz do wektora normalnego podanej płaszczyzny - zatem, jak poprzednio można przyjąć, że jest równy ich iloczynowi wektorowemu czyli n=kxm, gdzie m=[1,1,1]


stąd mamy wektor normalny szukanej płaszczyzny. punkt na tej płaszczyźnie można np wziąć z prostej - w tym celu wystarczy znaleźć dowolne rozwiązanie podanego układu równań - np można wziąć x=0 i obliczyć pozostałe dwie współrzędne - P=(0,2,1)

równanie płaszczyzny: A(x-0)+B(y-2)+C(z-1)=0, gdzie n=[A,B,C].
Pozdrawiam.