Rozsuniecie 2 punktów

[Progsi]

Rozsunięcie 2 punktów

[BettyBoo]

a co to za punkt A i co on ma wspólnego z punktami B,C oraz z problemem?

nadal nie rozumiem problemu... jakiś związek ma być między A i A' oraz B i B'?
Może lepiej będzie, jak sformułujesz oryginalny problem..
Pozdrawiam.

[Progsi]

a co to za punkt A i co on ma wspólnego z punktami B,C oraz z problemem?

Uszczegółowiłem opis, mam nadzieje ze teraz jest bardziej zrozumiały... ewentualnie moge wysłać rysunek... bede bardzo wdzieczny za pomoc....

[BettyBoo]

Z rysunku wynika, że interesuje Cię przesunięcie we współrzędnych sferycznych na kącie zenitowym, a to łatwo zrobić. Obliczenia są robione przy założeniu, że środek sfery leży w punkcie (0,0,0). Jeśli nie leży, to trzeba najpierw przesunąć układ kartezjański tak, aby środek sfery był w punkcie (0,0,0), wykorzystać wzór na A' i B' i przesunąć układ z powrotem do oryginalnego położenia. Jeśli rysunek niedokładnie odzwierciedla położenie punktów A i B w przestrzeni, to poniższe rozwiązanie może się okazać niepoprawne. Żeby mieć pewność, musiałabym znać dane liczbowe.

Ukryta treść:    

Tak naprawdę, jeśli dobrze rozumiem rysunek i rysunek dokładnie odzwierciedla problem, wystarczy skorzystać z faktu, że wszystkie 4 punkty leżą na tym samym okręgu oraz z trójkątów prostokątnych. Są dwa trójkąty - AST oraz A'ST', gdzie T jest środkiem okręgu, na którym leżą punkty A i B, a T' jest środkiem okręgu na którym leżą A' i B', przy czym oczywiście AT'=1. Nie wiem tylko, czy łatwiej byłoby wykonać obliczenia dla takiego problemu i dlatego przedstawiłam rozwiązanie wykorzystujące trochę bardziej zaawansowaną metodę. Zauważ, że Tobie potrzebne jest tylko to, co piszę na samym końcu, więc sądzę, że użyta metoda nie ma znaczenia

Jeśli punkty A i B są dane w układzie kartezjańskim, to łatwo obliczyć ich współrzędne sferyczne: \(\displaystyle{ \begin{cases} r =\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\\ \phi=\mathrm{arctg}\frac{y}{x } \\ \theta=\arcsin\frac{z}{r}\end{cases}}\)
Oczywiście dla obu punktów r=3.8 i jest ten sam kąt zenitowy, powiedzmy t. Kąty azymutowe są różne i jeśli dobrze zrozumiałam rysunek, to różnią się o pi, zatem mamy \(\displaystyle{ A=(3.8, t,m),\ B=(3.8, t, m+\pi)}\) (jesli źle zrozumiałam rysunek, to wtedy A ma powiedzmy kąt azymutowy m, a B ma kąt n - pozostałe obliczenia możesz powtórzyć przy takim założeniu)

Dalej, ponieważ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=r \cos\theta \cos\phi\, \\
y=r \cos\theta \sin\phi\,\\
z=r \sin\theta\, \end{cases}}\),
to po przesunięciu o kąt zenitowy s współrzędne punktów będą miały postać
\(\displaystyle{ \begin{cases} x' =r \cos(\theta+s) \cos\phi\, \\
y'=r \cos(\theta+s) \sin\phi\,\\
z'=r \sin(\theta+s)\, \end{cases}}\)


A więc
\(\displaystyle{ A'=(3.8 \cos (t+s) \cos m,\ 3.8 \cos (t+s) \sin m,\ 3.8 \sin (t+s))}\)

\(\displaystyle{ B'=(3.8 \cos (t+s) \cos (m+\pi ),\ 3.8 \cos (t+s) \sin (m+\pi ),\ 3.8 \sin (t+s))= (-3.8 \cos (t+s) \cos m),\ -3.8 \cos (t+s) \sin m,\ 3.8 \sin (t+s))}\)

No to teraz wystarczy skorzystać ze wzoru na odległość (kartezjańską) punktów A', B' i otrzymujesz równanie z jedną niewiadomą s. Po uproszczeniu otrzymujesz warunek \(\displaystyle{ |\cos(t+s)|=\frac{1}{3.8}}\), a ponieważ \(\displaystyle{ 0<t+s<\frac{\pi}{2}}\), to masz ostatecznie \(\displaystyle{ \cos(t+s)=\frac{1}{3.8}}\).

Wstawiasz to do wzorów na A' i B' i ostatecznie współrzędne kartezjańskie punktów A',B' mają postać
\(\displaystyle{ A'=(\cos m,\ \sin m,\ \sqrt{3.8^2-1}),\ B'= (-\cos m,\ -\sin m,\ \sqrt{3.8^2-1}),}\)
\(\displaystyle{ m=\mathrm{arctg}\ \frac{A_y}{A_x}}\)

Pozdrawiam.

[Progsi]

zastanawiam sie czy to zadziala jezeli układ tych trzech punktów A B i S będzie się dowolnie obracał w przestrzeni xyz?? (oczywiscie zachowujac odległości SA i SB)

[BettyBoo]

W tej postaci oczywiście nie. Trzeba uwzględnić obrót - ponieważ odległości mają się zachować, to interesujący Cię obrót we współrzędnych kartezjańskich odpowiada przesunięciu we współrzędnych sferycznych, ale tylko na obu kątach. Można więc układ obrócić do postaci, która jest omawiana wyżej, obliczyć współrzędne i obrócić z powrotem do oryginalnego położenia. Może się zdarzyć, że łatwiej będzie rozpatrywać od razu problem dla obróconego układu. Wszystko zależy od początkowych danych.

Pozdrawiam.

[Progsi]

a czy jest możliwość uzyskania rozwiązania które będzie działało niezależnie od początkowego położenia układu...

[BettyBoo]

Wtedy chyba najwygodniej byłoby skorzystać z trójkątów prostokątnych, ale nie mam siły tego rozpisywać To działa przy założeniu, że punkty A, B, A', B' leżą na największym okręgu - tak, jak na rysunku.
Wyprowadzenie wyglądałoby tak: tworzymy dwa trójkąty prostokątne ATS oraz A'T'S, gdzie T jest środkiem odcinka AB, a T' jest środkiem odcinka A'B', przy czym oczywiście AT'=1. Mamy równość wektorów \(\displaystyle{ |AT|\vec{A'T'}=\vec{AT}}\) oraz \(\displaystyle{ 2\vec{A'T'}=\vec{A'B'}}\), a stąd wyznaczysz A' i B'.
Pozdrawiam.

[Progsi]

ale tak jest - one zawsze leza na najwiekszym okregu, chodzi mi tylko o to zeby obracac ten uklad w przestrzeni.

[BettyBoo]

To co piszesz teraz już trochę inne zadanie niż to, które było na początku. To napisz może co masz konkretnie dane tym razem, względem czego możesz obracać układ i co chcesz obliczyć.

Pozdrawiam.