dowód, okrąg i opisany na nim kwadrat

[sesee]

Bardzo proszę o pomoc -

Dany jest okrąg o środku w poczatku układu współrzędnych i promieniu równym r oraz dwa przeciwległe wierzchołki kwadratu opisanego na tym okręgu (A i B). Uzasadnij, że suma kwadratów długości AM i BM nie zależy od wyboru punktu M należącego do okregu.

[lukasz1804]

Ponieważ środek kwadratu leży także w początku układu współrzednych, to punkty A i B są symetryczne względem niego. Zatem jeśli \(\displaystyle{ A=(x,y)}\), to \(\displaystyle{ B=(-x,-y)}\). Z kolei punkt M należący do danego okręgu ma współrzędne \(\displaystyle{ M=(u,v)}\) związane równaniem \(\displaystyle{ u^2+v^2=r^2}\).
Co więcej, przekątna kwadratu ma długość \(\displaystyle{ 2r\sqrt{2}}\). Wobec tego punkty A i B leżą na okręgu o równaniu \(\displaystyle{ s^2+t^2=2r^2}\), w szczególności \(\displaystyle{ x^2+y^2=2r^2}\) (A leży na tym okręgu).
Mamy zatem

\(\displaystyle{ |AM|^2+|BM|^2=(u-x)^2+(v-y)^2+(u+x)^2+(v+y)^2=2u^2+2v^2+2x^2+2y^2=2(x^2+y^2)+2(u^2+v^2)=2\cdot 2r^2+2r^2=6r^2,}\)

więc suma kwadratów odległości punktów A i B od M jest stała i równa \(\displaystyle{ 6r^2}\).

Pozdrawiam