podac rownanie rzutu prostej na płaszczyznę

[radziator]

Witam,treścią zadania jest: POdaj równanie rzutu prostej L: \(\displaystyle{ \frac{x - 3}{4}}\) = \(\displaystyle{ \frac{y + 6}{5}}\) = \(\displaystyle{ \frac{z}{-2}}\) na płaszczyzne \(\displaystyle{ \pi}\) : 2x + y - 3z + 8 = 0 ....


- z płaszczyzny 2x + y - 3z + 8 = 0 wyliczam wektor normalny N \(\displaystyle{ \pi}\) = [2,1,-3]

- z prostej \(\displaystyle{ \frac{x - 3}{4}}\) = \(\displaystyle{ \frac{y + 6}{5}}\) = \(\displaystyle{ \frac{z}{-2}}\) wyliczam vektor V=[4,5,2] oraz punkt P =(3,-6,0)

- tworze płaszczyznę \(\displaystyle{ \delta}\) ktora zawiera w sobie ta prosta i płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\) czyli wektor naturalny N \(\displaystyle{ \delta}\) = N\(\displaystyle{ \pi}\) x V = [-13,8,-6]
oraz punkt P lezacy na prastej co daje w sumie -13(x-3) + 8(y+6) - 6(z-0) = 0
\(\displaystyle{ \delta}\) : -13x +8y -6z +87 = 0

- a wiec mamy L' : \(\displaystyle{ \begin{cases} 2x + y - 3z + 8 = 0\\-13x +8y -6z +87 = 0\end{cases}}\)



i CO dalej ?????? czy do tego momentu dobrze robie ? ...pozdrawiam

-- 16 kwi 2009, o 15:44 --

chyba jest to postac krawedziowa, wiec wektor N \(\displaystyle{ \pi}\) pomnozylem wektorowo przez wektor N \(\displaystyle{ \delta}\) i wyszedl mi vektor B= [-30,-27,29]...... i razem z punktem z prostej L badz tez razem z punktem z prostej L zrzutowanym na płaszczyzne \(\displaystyle{ \pi}\) wychodzi mi ŹLE ..... inaczej sie to robi ? jesli tak to w jakis sposob? Mógłby ktoś mnie nakierować ?:)

[gott314]

Co do pierwszego myślnika, to źle jest wyznaczony wektor \(\displaystyle{ V}\). Powinno być:
\(\displaystyle{ V=[4,5,-2]}\)
Co do dalszych, to nie rozumiem do końca Twojego zapisu (przez co toku myślenia), jednak wydaje mi się, że jest OK, oprócz jednej rzeczy - mi wyszła płaszczyzna:
\(\displaystyle{ 87-13x+8y+6z = 0}\)
a Tobie:
\(\displaystyle{ 87-13x+8y-6z = 0}\)
(różnica w znaku przy z-ecie).
Aby wyznaczyć tą płaszczyznę, wysatrzczy obliczyć iloczyn mieszany wektorów:
\(\displaystyle{ \vec{AP}=[3-x,-6-y,z]}\)
\(\displaystyle{ V=[4,5,-2]}\)
\(\displaystyle{ N=[2,1,-3]}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ (\vec{AP},V,N)=\left|\begin{array}{ccc}3-x&-6-y&z\\4&5&-2\\2&1&-3\end{array}\right|=87-13x+8y+6z}\)
I przyrównać go do zera.
Następnie, tak jak piszesz mamy postać krawędziową prostej, tj.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x + y - 3z + 8 = 0 \\87-13x+8y+6z = 0\end{cases}}\)
I to chyba wystarczy, ponieważ ta postać także jest postacią prostej;-)
Doprowadzanie jej do postaci kanonicznej, jest troszeczkę żmudne...-- 16 kwi 2009, o 17:20 --Przepraszam. Powinno być w pierwszym zdaniu:
"Co do drugiego myślnika."

[radziator]

"Co do pierwszego myślnika, to źle jest wyznaczony wektor V" --> tak tak "-2" zamiast "2", źle napisałem tu ale do obliczen uzywalem "-2"...
- wektor AP nie powinien wyjsc : \(\displaystyle{ \vec{AP}=[3-x,-6-y,-z]}\) ? (zamiast "z" "-z" )?


postac krawedziowa trzeba tak przeksztalcic zeby wyszlo dokladnie cos takiego : \(\displaystyle{ \frac{x - 1}{-2}}\) = \(\displaystyle{ \frac{y + 4}{55}}\) = \(\displaystyle{ \frac{z-2}{17}}\) <--- to jest wynik tego zadania, i nie wiem jak do tego doprowadzic

[gott314]

Ach tak. Masz rację. Pomyliłem się z tym wektorem \(\displaystyle{ \vec{AP}}\) - powinien tam być znak minus przed "z". Więc, wstawiając poprawny wektor \(\displaystyle{ \vec{AP}}\) do iloczynu mieszanego otrzymujemy takie samo rozwiązanie jakie Ty przedstawiłeś w swoim pierwszym poscie. Mamy zatem postać krawędziową, co do postaci kanonicznej, to c.d.n.

[radziator]

nikt nie ma pomysłu jak przekształcić ta postac krawędziową ?;/

[gott314]

Aby doprowadzić równanie krawędziowe do postaci kanonicznej, należy przyjąć jedną ze współrzędnych jako paramert i obliczyć dwie pozostałe z podanego układu.
I tak oto, na przykład z równania \(\displaystyle{ 2x+y-3z+8=0}\) wyliczamy "y" i wstawiamy do drugiego. Po redukcji dostajemy:
\(\displaystyle{ -29x+18z+23 = 0}\)
Stąd wyliczamy "z", które jest naszym parametrem:
\(\displaystyle{ z=\frac{29}{18}x-\frac{23}{18}}\)
Podobnie postępujemy z drugim równaniem - wyliczamy z niego "x" i wstawiamy do pierwszego. Po redukcji dostajemy:
\(\displaystyle{ 0 = 29y-51z+278}\)
Stąd również wyliczamy "z" i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ z = \frac{278}{51}+\frac{29}{51}y}\)
Więc, możemy zapisać:
\(\displaystyle{ z=\frac{29x-23}{18}=\frac{29y+278}{51}}\)
To równanie możemy zapisać inaczej, mianowicie:
\(\displaystyle{ z=\frac{x-\frac{23}{29}}{\frac{18}{29}}=\frac{y+\frac{278}{29}}{\frac{51}{29}}}\)
Jest to postać kanoniczna naszego równania krawędziowego. Jako parametr wybrałem "z". Nie wiem w jaki sposób doprowadzić to równanie krawędziowe do postaci jaką masz w odpowiedzi. Może należy jako parametr wybrać "x" lub "y" i "pobawić się" bardziej z poszczególnymi równaniami, które wyjdą w czasie rozwiązywania. Myślę jednak, że jeżeli się nie pomyliłem gdzieś w obliczeniach, to to rozwiązanie jest poprawne.

[radziator]

ok dzieki pokombinuje ...