Wyznacz plaszczyzne styczna do powierzchnii

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Awatar użytkownika
kuch2r
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2302
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

Wyznacz plaszczyzne styczna do powierzchnii

Post autor: kuch2r »

Wyznacz płaszczyznę styczną do powierzchni \(\displaystyle{ x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 21}\) i równoległą do płaszczyzny \(\displaystyle{ x + 4y + 6z = 0}\)
Fibik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 953
Rejestracja: 27 wrz 2005, o 22:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 74 razy

Wyznacz plaszczyzne styczna do powierzchnii

Post autor: Fibik »

Wektor normalny w punkcie styczności:
\(\displaystyle{ \nabla f(x,y,z) = (2x, 4y, 6z)}\)
musi on być || do wektora normalnego tej płaszczyzny: N = a(1,4,6), a - stała

zatem: 2x = a, 4y = 4a, 6z = 6a
otrzymujemy współrzędne punktu: (x,y,z) = a(1, 2, 2)

Leży on na tej powierzchni, zatem jego współrzędne muszą spełniać równanie tej pow.:
\(\displaystyle{ a^2 + 8a^2 + 12a^2 = 21a^2 = 21\ \to a = 1\ lub\ a = -1}\)

Mamy dwa punkty: A(1,2,2) i B(-1,-2,-2), wektor normalny N = (1,4,6),
i równania płaszczyzn stycznych:
\(\displaystyle{ (x-1) + 4(y-2) + 6(z-2) = 0,\\(x+1) + 4(y+2) + 6(z+2) = 0}\)
ODPOWIEDZ