Płaszczyzna równoległa

[anzej]

Przez prostą powstałą z przecięcia płaszczyzn \(\displaystyle{ \begin{cases} {2x-y+5z-1=0} \\ x+y+2=0 \end{cases}}\) poprowadzić płaszczyznę równoległą do płaszczyzny x+4y-5z=0.

[gott314]

Szukana płaszczyna ma równanie:
\(\displaystyle{ x+4y-5z+d=0}\) (gdzie "d" jest stałą)
ponieważ jej wektor normalny \(\displaystyle{ \vec{n}=[1,4,-5]}\) musi być taki sam jak w płaszczyźnie, do której ma być równoległa.
Przekształcając postać krawędziową danej prostej do postaci kanonicznej otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{x}{1}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+\frac{1}{5}}{-\frac{3}{5}}}\)
Z tej postaci odczytujemy wektor równoległy do prostej:
\(\displaystyle{ \vec{a}=[1,-1,-\frac{3}{5}]}\)
Obliczamy iloczyn skalarny wekotrów "n" i "a":
\(\displaystyle{ \vec{n}\circ\vec{a}=0}\)
Zatem, wektory te są do siebie prostopadłe. Wniosek: prosta i płaszczyzna dana są do siebie równoległe. Jest to ważne, gdyż jeśliby ten warunek nie był spełniony to zadanie nie miałoby sensu.
Wystarczy teraz znaleźć wartość "d", dla której prosta zawiera się w płaszczyźnie szukanej. Przekształcamy postać kanoniczną prostej do postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{1}x=t\\y=-2-t\\z=-\frac{3}{5}t-\frac{1}{5}\end{arra}}\)
i podstawiamy do równania płaszczyzny szukanej. Po redukcji otrzymamy:
\(\displaystyle{ d=7}\)
Zatem, szukana płaszczyzna ma równanie:
\(\displaystyle{ x+4y-5z+7=0}\)