równania płaszczyzn i prostych

[mat1989]

Mógłby mi ktoś pokazać, jak zamieniać takie równania między sobą?

[BettyBoo]

Równania prostej: prosta jest określona przez wektor do niej równoległy k=[a,b,c] oraz punkt, który do niej należy P0(x0,y0,z0). Niech dowolny punkt na prostej na postać P(x,y,z). Mamy 4 zapisy równania prostej: wektorowa, parametryczna, kanoniczna i krawędziowa.

1) rozwiązanie równania w postaci wektorowej dla x,y,z daje postać parametryczną;
odwrotnie: przerzucamy współrzędną punktu P0 w każdym równaniu na lewą stronę. układ równości oznacza, że wektory [a,b,c] oraz [x-xo,y-y0,x-x0] są równoległe co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn wektorowy jest równy 0

2) obliczenie parametru z każdego równania postaci parametrycznej i przyrównanie daje postać kanoniczną;
odwrotnie: wszystkie człony postaci kanonicznej są sobie równe i są równe jakiejś liczbie, powiedzmy t. Każdy człon przyrównujemy do t i obliczamy z tego x,y,z

3) rozwiązanie układu równań w postaci krawędziowej daje postać parametryczną.
odwrotnie: wybieramy dowolne dwa wektory nierównoległe prostopadłe do k. To daje współczynniki przy x,y,z w obu równaniach w postaci krawędziowej. Brakujące współczynniki obliczamy wstawiając do równań płaszczyzn punkt P0

To wystarczy do przejścia między dowolnymi dwoma zapisami równana prostej.


Równania płaszczyzny: płaszczyzna jest określona przez wektor do niej prostopadły k=[a,b,c] oraz punkt, który do niej należy P0(x0,y0,z0). Niech dowolny punkt na płaszczyźnie na postać P(x,y,z). Mamy 3 zapisy równania płaszczyzny: wektorowy, ogólny i point-normal (nie wiem, jak to się po polsku nazywa - zapis to a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0). Z równania wektorowego otrzymujemy natychmiast point-normal, z point-normal mamy natychmiast równanie w postaci wektorowej. Z point-normal po uporządkowaniu otrzymujemy postać ogólną. Odwrotnie, wybieramy dowolny punkt P0 spełniający równanie ogólne i zapisujemy postać point-normal.

[mat1989]

jak wygląda równanie wektorowe prostej?
\(\displaystyle{ \vec{v}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)}\)?

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ k\times \vec{P_0P}=0}\)
wektor w początku w ustalonym punkcie i końcu w dowolnym jest równoległy do wektora k, więc ich iloczyn wektorowy jest równy 0.

[mat1989]

a jest jeszcze równanie odcinkowe płaszczyzny?

[BettyBoo]

no też fakt, jest, zapomniałam, bo nigdy go nie używam
Pozdrawiam.

[mat1989]

i jak można go przekształcić ?

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1/*abc\quad \Rightarrow\quad bcx+acy+abz-abc=0}\)

[mat1989]

no tak ale z innego równania do postaci odcinkowej?

[BettyBoo]

Płaszczyzna ma postać odcinkową tylko wtedy gdy nie przechodzi przez (0,0,0).
Z ogólnego: \(\displaystyle{ ax+by+cz=d / :d (\neq 0)\quad \Rightarrow\quad \frac{x}{ad}+\frac{y}{bd}+\frac{z}{cd}=1}\)

Pozdrawiam.

[eragonn14]

Przepraszam za odkopanie ale to najbardziej pasujący temat.



co gdy d=0 ? Jak wyznaczyć tę płaszczyznę na układzie 0XYZ ?

[BettyBoo]

Nie bardzo rozumiem co masz na myśli pisząc "wyznaczyć" ?

Pozdrawiam.

[gryzzly92]

Przepraszam za odkopanie ale to najbardziej pasujący temat.



co gdy d=0 ? Jak wyznaczyć tę płaszczyznę na układzie 0XYZ ?

Może odkop ale będzie dla przyszłych.

Jak widzisz dla D=0 płaszczyzna zawiera punkt (0,0,0) a post wyżej...

...tylko wtedy gdy nie przechodzi przez (0,0,0).

Taka płaszczyzna po prostu postaci odcinkowej nie posiada (postać ta nie jest ogólna - czasem jest wygodniejsza

PS nie mylić określenia ogólna z postacią ogólną ;D