Równania płaszczyzn

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
wojtas2323
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 26 maja 2008, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sopot

Równania płaszczyzn

Post autor: wojtas2323 »

Witam, mam duzy problem z rozwiazaniem tego zadania. Bardzo proszę o pomoc.
Zad. Wyznaczyć równania płaszczyzn dzielących na połowy kąty dwuścienne utworzone przez płaszczyzny x+y+z-1=0 i x-y-z+2=0
Z góry dziękuje za pomoc.
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Równania płaszczyzn

Post autor: BettyBoo »

Aby napisać równanie płaszczyzny potrzebny jest wektor i punkt.

W zadaniu trzeba wyznaczyć płaszczyzny, które przecinają się wzdłuż tej samej prostej co dane płaszczyzny - stąd można wziąć punkt należący do szukanych płaszczyzn. Równanie tej prostej to \(\displaystyle{ x=-\frac{1}{2},\ y=\frac{3}{2}-t,\ z=t,\ t\in\mathbb{R}}\) a więc punkt to np \(\displaystyle{ A=(-\frac{ 1}{2},1,\frac{1}{2})}\)

Co do wektora: po pierwsze, kąt między płaszczyznami to właśnie kąt dwuścienny.
Po drugie, kąt między płaszczyznami jest wyznaczony przez kąt między ich wektorami normalnymi.
Z wektorów normalnych podanych płaszczyzn można zbudować romb, bo mają jednakowe długości. Przekątne rombu tną kąty w rombie na pół - a więc wektorami normalnymi szukanych płaszczyzn są np suma i różnica wektorów normalnych podanych płaszczyzn, czyli [1,1,1]+[1,-1,-1]=[2,0,0] oraz [1,1,1]-[1,-1,-1]=[0,-2,-2]

Równania płaszczyzn:

\(\displaystyle{ 2\left(x+\frac{1}{2}\right)=0\ \Rightarrow\ 2x+1=0

-2(y-1)-2\left(z-\frac{1}{2}\right)=0\ \Rightarrow\ -2y-2z+3=0}\)


Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ