(nie)współliniowość punktów, parametr

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 33 razy

(nie)współliniowość punktów, parametr

Post autor: patry93 »

Witam.

Dla jakich wartości \(\displaystyle{ k}\) punkty \(\displaystyle{ A, B \ i \ C}\) są współliniowe, a dla jakich niewspółliniowe, jeśli:
\(\displaystyle{ a) \ |AB|=3k-1 , \ |BC| = 4 , \ |AC|=k \\ b) \ |AB|=10 , \ |AC| = 3+k , \ |BC| = 7-k \\ c) |AB| = 2k , \ |AC| = k+1 , \ |BC| = 5}\)

a) współliniowe, gdy: \(\displaystyle{ 3k-1+4=k \iff k = - \frac{3}{2} = |AC| < 0}\) - sprzeczność, lub
\(\displaystyle{ 3k-1+k=4 \iff k = \frac{5}{4}}\), lub
\(\displaystyle{ 4+k=3k-1 \iff k = \frac{5}{2}}\)
Zatem są współliniowe tylko dla \(\displaystyle{ k = \frac{5}{4} \vee k = \frac{5}{2}}\)

Niewspółliniowe, gdy: \(\displaystyle{ |3k-1-k| < 4 < 3k-1+k \iff |2k-1| < 4 < 4k - 1}\)
Zajmę się teraz lewą nierównością:
\(\displaystyle{ -4 < 2k-1 < 4 \iff - \frac{3}{2} < k < \frac{5}{2} \Rightarrow k < \frac{5}{2}}\)
Teraz prawa nierówność:
\(\displaystyle{ 4 < 4k-1 \iff k > \frac{5}{4}}\)
Zatem są niewspółliniowe, gdy \(\displaystyle{ k \in ( \frac{5}{4} ; \frac{5}{2} )}\)

Teraz zajmę się podpunktem c) nie bez powodu (niżej wytłumaczę, dlaczego )
c) współliniowe, gdy: \(\displaystyle{ 2k+k+1=5 \iff k = \frac{4}{3}}\), lub
\(\displaystyle{ 2k+5=k+1 \iff k = -4 \Rightarrow |AB| = -4 \cdot 2 = -8}\) - sprzeczność, lub
\(\displaystyle{ k+1+5=2k \iff k=6}\)
Czyli współliniowe są, gdy \(\displaystyle{ k = \frac{4}{3} \vee k = 6}\)

Niewspółliniowe, gdy: \(\displaystyle{ |2k-k-1| < 5 < 2k+k+1 \iff |k-1| < 5 < 3k+1}\)
Pominę rozpisywanie tych nierówności, bo raczej nic ciekawego tam nie ma
Z rozpisania wychodzi \(\displaystyle{ k \in ( \frac{4}{3} ; 6 )}\)

Na koniec podpunkt b) w którym dzieje się coś dziwnego
b) współliniowe, gdy: \(\displaystyle{ 10+3+k = 7-k \iff k = -3}\), lub
\(\displaystyle{ 10+7-k=3+k \iff k=7}\), lub
\(\displaystyle{ 3+k-7-k=10 \iff 0=0 \Rightarrow k \in \mathbb{R}}\)
Hm, i co teraz? Branie sumy, czy iloczynu warunków raczej mija się z celem...
może inaczej - jak zinterpretować wynik ostatniego warunku i połączyć go z pozostałymi?

Niewspółliniowe, gdy: \(\displaystyle{ |10-3-k| < 7-k < 10+3+k \iff |7-k| < 7-k < 13+k}\)
Zauważmy, że lewa nierówność jest fałszywa, więc jeśli się nie mylę - to oznacza, że nie ma takich \(\displaystyle{ k}\), dla których dane punkty są niewspółliniowe, prawda?

Z góry dziękuję za pomoc.
Pozdrawiam, P.
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

(nie)współliniowość punktów, parametr

Post autor: klaustrofob »

a) i c) są ok, ale czy nie lepiej brać warunek niewspółliniowości w postaci trzech nierówności, np. w a) wyglądałoby to tak
\(\displaystyle{ \begin{cases}
4<3k-1+k\\
k<3k-1+4\\
3k-1<k+4\end{cases}}\)


zauważ, że w b) dla k=-3 lub k=7 pewne punkty się pokrywają. otrzymany przez Ciebie wynik mówi dalej, że dla -3<k<7 punkty są współliniowe. pozostałych przypadków nie ma co badać, bo są poza zakresem sensowności k (tj. pewne wyrażenia, reprezentujące odległości punktów przyjmują wartości ujemne). gdybyś jednak chciał badać dalej niewspółliniowość (niepotrzebnie już, powtarzam), to układ
\(\displaystyle{ \begin{cases}
10<3+k + 7-k=10\\
3+k<10+7-k\\
7-k<10+3+k
\end{cases}}\)

jest sprzeczny, co widać po pierwszym równaniu. zatem nie istnieje k, dla którego punkty są niewspółliniowe
ODPOWIEDZ