Współrzędne wierzchołka R

[Bartek1991]

Pole trójkąta o wierzchołkach P = (1; -2) i Q = (2; 3) jest równe 8. Wyznaczyć współrzędne trzeciego wierzchołka R, jeżeli należy on do prostej l: 2x-y-2 = 0

Robiłem w taki sposób:

Długośc PQ:
\(\displaystyle{ |PQ| = \sqrt{26}}\)
Następnie wysokość opuszczona z wierzchołka R:
\(\displaystyle{ h = \frac{16}{ \sqrt{26}}}\)

Znajduje równanie prostej PQ:
5x - y - 7 = 0
stąd:
A = 5, B = -1, C = -7
punkt R zaś ma współrzędne:
x, 2x-2

Podstawiłem następnie wszystkie wartości do wzoru na długośc otrzymując ostatecznie:

\(\displaystyle{ |3x-5| = 16}\)

Gdzie jest błąd?

[lionek]

A spróbuj ze wzoru na pole trójkąta takie
\(\displaystyle{ P(1;-2)}\)
\(\displaystyle{ Q(2;3)}\)
\(\displaystyle{ R(x_r;y_r)}\)

\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}| (x_q-y_p)(y_r-y_p)-(y_q-y_p)(x_r-x_p)|}\)
i potem masz układ
\(\displaystyle{ y_r+2-5x_r+5=0}\)
\(\displaystyle{ |y_r-5x_r+7|=16}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-y-2 =0 \\ |y_r-5x_r+7|=16 \end{cases}}\)

[Bartek1991]

Ten wzór widzę po raz pierwszy na oczy. Poza tym wolałbym raczej aby ktoś sprawdził błąd w moim toku rozumowania...

[lionek]

To jest wzór na pole trójkąta z tablic maturalnych...

[Sherlock]

masz może odpowiedź do tego zadania?

[Bartek1991]

\(\displaystyle{ Znajdziemy współrzędne spodka wysokośc}\)
a co to jest spodek wysokości?

ODP:

\(\displaystyle{ R = ( \frac{25}{7} ; \frac{-36}{7} )}\) lub \(\displaystyle{ R = (-1,4)}\)

[Sherlock]

Spodek wysokości to punkt na podstawie na który opada wysokość.

[lionek]

Poprawiłem swoje obliczenia, bo zapomniałem o podanym polu tego trójkąta...

[Sherlock]

ODP:

\(\displaystyle{ R = ( \frac{25}{7} ; \frac{-36}{7} )}\) lub \(\displaystyle{ R = (-1,4)}\)

ani jeden punkt ani drugi nie należy do prostej l: 2x-y-2 = 0

-- 9 kwietnia 2009, 15:40 --

Podstawiłem następnie wszystkie wartości do wzoru na długośc otrzymując ostatecznie:

\(\displaystyle{ |3x-5| = 16}\)

I.
\(\displaystyle{ 3x-5>0}\)
\(\displaystyle{ 3x>5}\)
\(\displaystyle{ x> \frac{5}{3}}\)
wtedy
\(\displaystyle{ 3x-5=16}\)
\(\displaystyle{ 3x=21}\)
\(\displaystyle{ x=7}\) \(\displaystyle{ 7> \frac{5}{3}}\)
\(\displaystyle{ R(7,12)}\)

II.
\(\displaystyle{ 3x-5<0}\)
\(\displaystyle{ 3x<5}\)
\(\displaystyle{ x< \frac{5}{3}}\)
wtedy
\(\displaystyle{ -3x+5=16}\)
\(\displaystyle{ 3x=-11}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{-11}{3}}\) \(\displaystyle{ \frac{-11}{3}< \frac{5}{3}}\)
\(\displaystyle{ R( \frac{-11}{3}, \frac{-28}{3})}\)

[Bartek1991]

Sherlock, ale jak już wcześniej zdążyłeś zauważyć mój sposób jest błędny...Jak zatem poprawnie rozwiązać to zadanie?

[Sherlock]

ale dlaczego błędny? dobrze liczysz
to co pisałem wcześniej usunąłem bo zorientowałem się z jakich wzorów korzystałeś (one uwzględniają to, czego myślałem, że brakuje )

PS sposób podany przez lionek
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-y-2 =0 \\ |y_r-5x_r+7|=16 \end{cases}}\)
też prowadzi do odpowiedzi \(\displaystyle{ R(7,12)}\) lub \(\displaystyle{ R( \frac{-11}{3}, \frac{-28}{3})}\)

Podane przez Ciebie odpowiedzi nie spełniają warunków zadania - nie leżą na prostej l.

[Bartek1991]

a skąd się biorą te równania w rozwiązaniu lionek ?

[Sherlock]

Lionek wykorzystał wzór na pole trójkąta z wykorzystaniem współrzędnych wierzchołków, zerknij do tablic, może tam go znajdziesz, ja nie znałem tego wzoru wcześniej

Zerknij tu: 37728.htm

\(\displaystyle{ A(x_{1},y_{1}) \ \ B(x_{2},y_{2}) \ \ C(x_{3},y_{3})}\)


\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}|\left|\begin{array}{ccc}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}\end{array}\right| \ |}\)

zastosowano we wzorze wyznacznik macierzy kwadratowej, sądzę, że nie przerabiałeś jeszcze macierzy ale nie ma problemu bo po przekształceniach wzór wygląda tak:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}|(x_3-x_1)(y_2-y_1)-(x_2-x_1)(y_3-y_1)|}\)

PS Lionek zgubił x w pierwszym nawiasie

[Bartek1991]

Ale moje rozwiązanie tez jest w pelni poprawne?

[Sherlock]

tak, wyniki wychodzą identyczne