4 płaszczyzny i prosta.
4 płaszczyzny i prosta.
Przez prostą powstałą z przecięć płaszczyzn \(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-y-1=0\\3x-y+z=0\end{cases}}\) poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzny x-2z+1=0
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
4 płaszczyzny i prosta.
Ponieważ szukana płaszczyzna zawiera prostą utworzoną przez dwie podane płaszczyzny, to oznacza, że należy ona do pęku płaszczyzn wyznaczonego przez te dwie płaszczyzny. Ponadto [2,-1,0][1,0,-2]=2 oraz [3,-1,1][1,0,-2]=1, zatem żadna z dwóch podanych płaszczyzn wyznaczających prostą nie jest prostopadła do x-2z+1=0, więc nie jest szukanym rozwiązaniem. Wobec tego równanie szukanej płaszczyzny można zapisać np. w postaci
2x-y-1+a(3x-y+z)=0, czyli (2+3a)x+(-1-a)y+az-1=0
Płaszczyzny są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy ich wektory normalne są prostopadłe, skąd mamy 0=[2+3a,-1-a,a][1,0,-2]=2+a, a więc a=-2, zatem szukane równanie płaszczyzny ma postać
-x+y-2z-1=0
2x-y-1+a(3x-y+z)=0, czyli (2+3a)x+(-1-a)y+az-1=0
Płaszczyzny są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy ich wektory normalne są prostopadłe, skąd mamy 0=[2+3a,-1-a,a][1,0,-2]=2+a, a więc a=-2, zatem szukane równanie płaszczyzny ma postać
-x+y-2z-1=0
4 płaszczyzny i prosta.
Moze ktoś porównać bo mi wyszło tak i nie wiem...
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} 2x-y-1=0 \\ 3x-y+z=0 \end{cases}}\)
x-2z+1
\(\displaystyle{ \alpha : Ax+By+Cz+D=0}\)
x-2z+1 prostopadłe do \(\displaystyle{ \alpha}\)
\(\displaystyle{ [2,-1,-1] \times [3,-1, 1] = [ 0,-5,1]= \vec{u}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{0}+0t \\ y=y_{0)-5t \\ z=z_0 +1t \end{cases}
\begin{cases} x_{0}=0 \\ y_{0}=-1 \\ z_{0}=-1\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \alpha : A(x-0)+B(y+1)+C(z+1)}\)
\(\displaystyle{ \alpha =Ax+By+B+Cz+C}\)
\(\displaystyle{ [0,-5,1] \times [1,-2,1]=[-3,1,5]}\)
\(\displaystyle{ \alpha: -3x+y+1+5z+5=> -3x+y+5z+6}\)
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} 2x-y-1=0 \\ 3x-y+z=0 \end{cases}}\)
x-2z+1
\(\displaystyle{ \alpha : Ax+By+Cz+D=0}\)
x-2z+1 prostopadłe do \(\displaystyle{ \alpha}\)
\(\displaystyle{ [2,-1,-1] \times [3,-1, 1] = [ 0,-5,1]= \vec{u}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{0}+0t \\ y=y_{0)-5t \\ z=z_0 +1t \end{cases}
\begin{cases} x_{0}=0 \\ y_{0}=-1 \\ z_{0}=-1\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \alpha : A(x-0)+B(y+1)+C(z+1)}\)
\(\displaystyle{ \alpha =Ax+By+B+Cz+C}\)
\(\displaystyle{ [0,-5,1] \times [1,-2,1]=[-3,1,5]}\)
\(\displaystyle{ \alpha: -3x+y+1+5z+5=> -3x+y+5z+6}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
4 płaszczyzny i prosta.
Musi być tak samo jak wyżej, bo taka płaszczyzna jest tylko jedna; masz źle wyznaczony pierwszy wektor - powinno być [2,-1,0], a nie [2,-1,-1]; masz też źle policzony iloczyn wektorowy - wg Twoich danych pierwsza współrzędna ma być 0.
Dalej nie sprawdzałam. Pozdrawiam.
Dalej nie sprawdzałam. Pozdrawiam.