4 płaszczyzny i prosta.

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
traw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 6 kwie 2009, o 17:38
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy

4 płaszczyzny i prosta.

Post autor: traw »

Przez prostą powstałą z przecięć płaszczyzn \(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-y-1=0\\3x-y+z=0\end{cases}}\) poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzny x-2z+1=0
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

4 płaszczyzny i prosta.

Post autor: BettyBoo »

Ponieważ szukana płaszczyzna zawiera prostą utworzoną przez dwie podane płaszczyzny, to oznacza, że należy ona do pęku płaszczyzn wyznaczonego przez te dwie płaszczyzny. Ponadto [2,-1,0][1,0,-2]=2 oraz [3,-1,1][1,0,-2]=1, zatem żadna z dwóch podanych płaszczyzn wyznaczających prostą nie jest prostopadła do x-2z+1=0, więc nie jest szukanym rozwiązaniem. Wobec tego równanie szukanej płaszczyzny można zapisać np. w postaci

2x-y-1+a(3x-y+z)=0, czyli (2+3a)x+(-1-a)y+az-1=0

Płaszczyzny są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy ich wektory normalne są prostopadłe, skąd mamy 0=[2+3a,-1-a,a][1,0,-2]=2+a, a więc a=-2, zatem szukane równanie płaszczyzny ma postać

-x+y-2z-1=0
anzej
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 9 lut 2009, o 13:33
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 11 razy

4 płaszczyzny i prosta.

Post autor: anzej »

Moze ktoś porównać bo mi wyszło tak i nie wiem...

\(\displaystyle{ l: \begin{cases} 2x-y-1=0 \\ 3x-y+z=0 \end{cases}}\)
x-2z+1
\(\displaystyle{ \alpha : Ax+By+Cz+D=0}\)
x-2z+1 prostopadłe do \(\displaystyle{ \alpha}\)
\(\displaystyle{ [2,-1,-1] \times [3,-1, 1] = [ 0,-5,1]= \vec{u}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{0}+0t \\ y=y_{0)-5t \\ z=z_0 +1t \end{cases}
\begin{cases} x_{0}=0 \\ y_{0}=-1 \\ z_{0}=-1\end{cases}}\)


\(\displaystyle{ \alpha : A(x-0)+B(y+1)+C(z+1)}\)
\(\displaystyle{ \alpha =Ax+By+B+Cz+C}\)
\(\displaystyle{ [0,-5,1] \times [1,-2,1]=[-3,1,5]}\)
\(\displaystyle{ \alpha: -3x+y+1+5z+5=> -3x+y+5z+6}\)
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

4 płaszczyzny i prosta.

Post autor: BettyBoo »

Musi być tak samo jak wyżej, bo taka płaszczyzna jest tylko jedna; masz źle wyznaczony pierwszy wektor - powinno być [2,-1,0], a nie [2,-1,-1]; masz też źle policzony iloczyn wektorowy - wg Twoich danych pierwsza współrzędna ma być 0.
Dalej nie sprawdzałam. Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ