Znaleźć pkt symetryczny do pkt względem płaszczyzny.

[traw]

Znaleźć punkt symetryczny do punktu A(1,2,-2) względem płaszczyzny 2 x + y - z = 0

[BettyBoo]

Dane: punkt A, płaszczyzna p. Szukane: punkt \(\displaystyle{ B(x_o,y_o,z_o)}\).
Konstrukcja:
1) tworzymy prostą k prostopadłą do płaszczyzny p i przechodzącą przez punkt A
2) szukamy punktu wspólnego C prostej k i płaszczyzny p
3) tworzymy wektory \(\displaystyle{ \vec{AC}}\) oraz\(\displaystyle{ \vec{CB}}\)
4) z równości \(\displaystyle{ \vec{AC}=\vec{CB}}\) wyznaczamy współrzędne punktu B.

Rozwiązanie:
Ad 1) Wektorem normalnym płaszczyzny p jest [2,1,-1] i jest to równocześnie wektor kierunkowy prostej k. Ponieważ prosta k zawiera punkt A(1,2,-2), to jej równania w postaci parametrycznej wyglądają następująco:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2t+1 \\y=t+2\\z=-t-2\end{cases}}\)

Ad 2) Punkt C znajdziemy z rozwiązania układu równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-z=0\\ x=2t+1 \\y=t+2\\z=-t-2\end{cases}}\)

Wstawiamy równania 2-4 do równania 1, obliczamy t=-1, potem z równań 2-4 obliczamy współrzędne punktu C=(-1,1,-1).

Ad 3) \(\displaystyle{ \vec{AC}=[-2,-1,1],\quad \vec{CB}=[x_o+1,y_o-1,z_o+1]}\)

Ad 4) \(\displaystyle{ B=(x_o,y_o,z_o)=(-3,0,0)}\)

Uwagi: można skorzystać z innych równości wektorów, np \(\displaystyle{ 2\vec{AC}=\vec{AB}}\)

Pozdrawiam.

Edit: poprawiłam dwa głupie błędy o których poniżej.

[traw]

Mam pytanie:

Wstawiamy równania 2-4 do równania 1, obliczamy t=1, potem z równań 2-4 obliczamy współrzędne punktu C=(1,3,-3).

Jakim cudem pkt C=(1,3,-3) ? Nie powinno być C=(3,3,-3) dla t=1?

[BettyBoo]

Mam pytanie:

Wstawiamy równania 2-4 do równania 1, obliczamy t=1, potem z równań 2-4 obliczamy współrzędne punktu C=(1,3,-3).

Jakim cudem pkt C=(1,3,-3) ? Nie powinno być C=(3,3,-3) dla t=1?

Jasne, że powinno

[Katia_bz]

a t nie powinno byc t=-1 ??