Pole czworokata

emilka1986 · Post autor: **emilka1986** » 3 kwie 2009, o 15:45

jakie jest pole czworokata, ktorego wierzcholkami sa punkty przeciecia sie prostych y=x-10 y=1/2 x+6 y=20 y=-x-20 . chce dokladne rozwiaznie

Sarrus · Post autor: **Sarrus** » 3 kwie 2009, o 15:58

emilka1986 pisze:jakie jest pole czworokata, ktorego wierzcholkami sa punkty przeciecia sie prostych y=x-10 y=1/2 x+6 y=20 y=-x-20 . chce dokladne rozwiaznie

%

\(\displaystyle{ y \ = \ x \ - \ 10}\)

\(\displaystyle{ y \ = \ \frac {1}{2} x \ + \ 6}\)

\(\displaystyle{ y \ = \ 20}\)

\(\displaystyle{ y \ = \ -x \ - \ 20}\)

\(\displaystyle{ Aby \ wyznaczyc \ wspolrzedne \ wiercholkow \ musisz \ rozwiazac \ uklady \ rownan \ liniowych \ :}\)

\(\displaystyle{ A\begin{cases} y \ = \ \frac {1}{2}x \ + \ 6 \\ y \ = \ -x \ - \ 20 \end{cases} \ \Leftrightarrow \ A\begin{cases} -\frac{1}{2}x \ + \ y \ = \ 6 \\ x \ + \ y \ = \ -20 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ B\begin{cases} y \ = \ -x \ - \ 20 \\ y \ = \ x \ - \ 10 \end{cases} \ \Leftrightarrow \ B\begin{cases} x \ + \ y \ = \ -20 \\ -x \ + \ y \ = \ -10 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ C\begin{cases} y \ = \ \frac {1}{2}x \ + \ 6 \\ y \ = \ 20 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ D\begin{cases} y \ = \ x \ - \ 10 \\ y \ = \ 20 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ A \ :}\)

\(\displaystyle{ W \ = \begin{vmatrix} -\frac {1}{2}&1\\1&1\end{vmatrix} \ = \ -\frac {1}{2} \ - \ 1 \ = \ -\frac {3}{2}}\)

\(\displaystyle{ W_{x} \ = \ \begin{vmatrix} 6&1\\-20&1\end{vmatrix} \ = \ 6 \ + \ 20 \ = \ 26}\)

\(\displaystyle{ W_{y} \ = \ \begin{vmatrix} -\frac {1}{2}&6\\1&-20\end{vmatrix} \ = \ 10 \ - \ 6 \ = \ 4}\)

\(\displaystyle{ x \ = \ \frac {W_{w} }{W} \ = \ \frac {26}{-\frac {3}{2}} \ = \ 26 \cdot \left( -\frac {2}{3}\right) \ = \ - \frac {52}{3}}\)

\(\displaystyle{ y \ = \ \frac {W_{y}}{W} \ = \ \frac {4}{-\frac {3}{2}} \ = \ 4 \cdot \left( - \frac {2}{3}\right) \ = \ -\frac {8}{3}}\)

\(\displaystyle{ A \left( -\frac {52}{3} \ ; \ -\frac {8}{3}\right)}\)

\(\displaystyle{ B \ :}\)

\(\displaystyle{ W \ = \ \begin{vmatrix} 1&1\\-1&1\end{vmatrix} \ = \ 1 \ + \ 1 \ = \ 2}\)

\(\displaystyle{ W_{x} \ = \ \begin{vmatrix} -20&1\\-10&1\end{vmatrix} \ = \ -20 \ + \ 10 \ = \ -10}\)

\(\displaystyle{ W_{y} \ = \ \begin{vmatrix} 1&-20\\-1&-10\end{vmatrix} \ = \ -10 \ - \ 20 \ = \ -30}\)

\(\displaystyle{ x \ = \ \frac {W_{x}}{W} \ = \ \frac {-10}{2} \ = \ -5}\)

\(\displaystyle{ y \ = \ \frac {W_{y}}{W} \ = \ \frac {-30}{2} \ = \ -15}\)

\(\displaystyle{ B \left( -5 \ ; \ -15 \right)}\)

\(\displaystyle{ C \ : \ 20 \ = \ \frac {1}{2}x \ + \ 6}\)

\(\displaystyle{ 40 \ = \ x \ + \ 12}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \ x \ = \ 28}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \ y \ = \ \frac {1}{2} \cdot 28 \ + \ 6 \ = \ 14 \ + \ 6 \ = \ 20 \ prawda.}\)

\(\displaystyle{ C \left( 28 \ ; \ 20 \right)}\)

\(\displaystyle{ D \ : \ 20 \ = \ x \ - \ 10 \ \Leftrightarrow \ x \ = \ 30}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \ y \ = \ 30 \ - \ 10 \ = \ 20 \ prawda \ .}\)

\(\displaystyle{ D \left( 30 \ ; \ 20 \right)}\)

\(\displaystyle{ Znajac \ wspolrzedne \ wierzcholkow \ czworokata \ moge \ obliczyc \ jego \ powierzchnie \ :}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} A \left( -\frac {52}{3} \ ; \ -\frac {8}{3}\right) \\ \\ B \left( -5 \ ; \ -15 \right) \\ \\ C \left( 28 \ ; \ 20 \right) \\ \\ D \left( 30 \ ; \ 20 \right) \\ \\ S_{ABCD} \ = \ S_{ABC} \ + \ S_{BCD} \\ \\ S_{ACBD} \ = \ \frac {1}{2} |\begin{vmatrix} x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix}| \ + \ \frac {1}{2} |\begin{vmatrix} x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_{C}&1\\x_{D}&y_{D}&1\end{vmatrix} | \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \ S_{ABCD} \ = \ \frac {1}{2}|\begin{vmatrix} -\frac{52}{3}&-\frac{8}{3}&1\\-5&-15&1\\28&20&1\end{vmatrix}| \ + \ \frac {1}{2} | \begin{vmatrix} -5&-15&1\\28&20&1\\30&20&1\end{vmatrix}| \ = \ \frac {2413}{3} \ + \ 35 \ = \ \frac {2518}{3} \ =}\)

\(\displaystyle{ = \ 839\frac {1}{3} \ [j^{2}]}\)
_________________

emilka1986 · Post autor: **emilka1986** » 3 kwie 2009, o 16:06

wow dzieki, pani znow sie spodoba! a nie ma innej metody?

Sarrus · Post autor: **Sarrus** » 3 kwie 2009, o 16:17

emilka1986 pisze:wow dzieki, pani znow sie spodoba! a nie ma innej metody?

%

\(\displaystyle{ Jest \ . \ Mozesz \ obliczyc \ dlugosci \ bokow \ tego \ czworokata \ , \ rozbic \ go \ na \ dwa \ trojkaty}\)

\(\displaystyle{ i \ obliczyc \ powierzchnie \ kazdego \ z \ nich \ korzystajac \ ze \ wzoru \ :}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}\\ S_{\Delta} \ = \ \sqrt{p \left( p \ - \ a \right) \left( p \ - \ b \right) \left( p \ - \ c \right) } \\ \\ gdzie \ : \\ \\ p \ = \ \frac {1}{2} \left( a \ + \ b \ + \ c \right) \\ \\ a \ , \ b \ , \ c \ to \ dlugosci \ bokow \ trojkata \\ \ \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ dodac \ i \ uzyskac \ w \ ten \ sposob \ powierzchnie \ czworokata \ .}\)

emilka1986 · Post autor: **emilka1986** » 3 kwie 2009, o 16:21

hm a jak obliczyc te boki?

Sarrus · Post autor: **Sarrus** » 3 kwie 2009, o 16:26

emilka1986 pisze:hm a jak obliczyc te boki?

%

\(\displaystyle{ Dlugosc \ odcinka \ to \ dlugosc \ wektora \ :}\)

\(\displaystyle{ |\vec{AB}| \ = \ \sqrt{ \left( x_{B} \ - \ x_{A} \right)^{2} \ + \ \left( y_{B} \ - \ y_{A} \right)^{2} }}\)

_______________________________________________

emilka1986 · Post autor: **emilka1986** » 3 kwie 2009, o 16:29

Sarrus pisze:
emilka1986 pisze:hm a jak obliczyc te boki?
%

\(\displaystyle{ Dlugosc \ odcinka \ to \ dlugosc \ wektora \ :}\)

\(\displaystyle{ |\vec{AB}| \ = \ \sqrt{ \left( x_{B} \ - \ x_{A} \right)^{2} \ + \ \left( y_{B} \ - \ y_{A} \right)^{2} }}\)

_______________________________________________

ja to znam! to chyba twierdzenie herona , czy cus

Sarrus · Post autor: **Sarrus** » 3 kwie 2009, o 16:34

emilka1986 pisze:
Sarrus pisze:
emilka1986 pisze:hm a jak obliczyc te boki?
%

\(\displaystyle{ Dlugosc \ odcinka \ to \ dlugosc \ wektora \ :}\)

\(\displaystyle{ |\vec{AB}| \ = \ \sqrt{ \left( x_{B} \ - \ x_{A} \right)^{2} \ + \ \left( y_{B} \ - \ y_{A} \right)^{2} }}\)

_______________________________________________

ja to znam! to chyba twierdzenie herona , czy cus

%

\(\displaystyle{ Nie \ , \ to \ jest \ dlugosc \ wektora \ .}\)

\(\displaystyle{ To \ jest \ " \ wzor \ Herona \ " \ :}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}\\ S_{\Delta} \ = \ \sqrt{p \left( p \ - \ a \right) \left( p \ - \ b \right) \left( p \ - \ c \right) } \\ \\ gdzie \ : \\ \\ p \ = \ \frac {1}{2} \left( a \ + \ b \ + \ c \right) \\ \\ a \ , \ b \ , \ c \ to \ dlugosci \ bokow \ trojkata \\ \ \end{cases}}\)

emilka1986 · Post autor: **emilka1986** » 3 kwie 2009, o 16:37

Sarrus, DZIEKI!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Sarrus · Post autor: **Sarrus** » 3 kwie 2009, o 16:39

emilka1986 pisze:Sarrus, DZIEKI!!!!!!!!!!!!!!!!!!

\(\displaystyle{ You ' re \ welcome \ .}\)