Pole trójkąta

[Adaśko]

Dany jest punkt P (1,-4). Środek okregu o rownaniu x^{2} + y^{2} -8x = 0 i punkt P należą do prostej l, ktora przecina okrag w punktach A i B. Oblicz pole trojkata ABO, gdzie O oznacza poczatek ukladu wspolrzednych.

[xiikzodz]

Ten okrąg ma równanie:

\(\displaystyle{ (x-4)^2+y^2=16}\)

czyli jest to okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ S=(4,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 4}\). Co więcej widzimy, że punkt \(\displaystyle{ O}\) leży na tym okręgu, więc do wyznaczenia pola wystarczą długości odcinków OA i OB.

Prosta przechodząca przez punkty S i P ma równanie:

\(\displaystyle{ 4x-3y=16}\).

Punkty \(\displaystyle{ A}\), i \(\displaystyle{ B}\) są więc rozwiązaniami układu równań:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{ccc} (x-4)^2+y^2&=&16 \\ 4x-3y&=&16 \end{array}\right.}\)

Wychodzi:

\(\displaystyle{ A=\frac{1}{10}(-16,32)}\)

\(\displaystyle{ B=\frac{1}{10}(64,32)}\)

\(\displaystyle{ |OA|=\frac{1}{10}\sqrt{16^2+32^2}=\frac{1}{10}\sqrt{5\cdot 256}}\)

\(\displaystyle{ |OB|=\frac{1}{10}\sqrt{32^2+64^2}=\frac{2}{10}\sqrt{5\cdot 256}}\)

\(\displaystyle{ P_\Delta=\frac{|OA|\cdot |OB|}{2}=\frac{5\cdot 256}{100}=\frac{64}{5}}\)