Pole trójkąta
-
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 23 paź 2008, o 18:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: LO
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 2 razy
Pole trójkąta
Dany jest punkt P (1,-4). Środek okregu o rownaniu x^{2} + y^{2} -8x = 0 i punkt P należą do prostej l, ktora przecina okrag w punktach A i B. Oblicz pole trojkata ABO, gdzie O oznacza poczatek ukladu wspolrzednych.
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Pole trójkąta
Ten okrąg ma równanie:
\(\displaystyle{ (x-4)^2+y^2=16}\)
czyli jest to okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ S=(4,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 4}\). Co więcej widzimy, że punkt \(\displaystyle{ O}\) leży na tym okręgu, więc do wyznaczenia pola wystarczą długości odcinków OA i OB.
Prosta przechodząca przez punkty S i P ma równanie:
\(\displaystyle{ 4x-3y=16}\).
Punkty \(\displaystyle{ A}\), i \(\displaystyle{ B}\) są więc rozwiązaniami układu równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{ccc} (x-4)^2+y^2&=&16 \\ 4x-3y&=&16 \end{array}\right.}\)
Wychodzi:
\(\displaystyle{ A=\frac{1}{10}(-16,32)}\)
\(\displaystyle{ B=\frac{1}{10}(64,32)}\)
\(\displaystyle{ |OA|=\frac{1}{10}\sqrt{16^2+32^2}=\frac{1}{10}\sqrt{5\cdot 256}}\)
\(\displaystyle{ |OB|=\frac{1}{10}\sqrt{32^2+64^2}=\frac{2}{10}\sqrt{5\cdot 256}}\)
\(\displaystyle{ P_\Delta=\frac{|OA|\cdot |OB|}{2}=\frac{5\cdot 256}{100}=\frac{64}{5}}\)
\(\displaystyle{ (x-4)^2+y^2=16}\)
czyli jest to okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ S=(4,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 4}\). Co więcej widzimy, że punkt \(\displaystyle{ O}\) leży na tym okręgu, więc do wyznaczenia pola wystarczą długości odcinków OA i OB.
Prosta przechodząca przez punkty S i P ma równanie:
\(\displaystyle{ 4x-3y=16}\).
Punkty \(\displaystyle{ A}\), i \(\displaystyle{ B}\) są więc rozwiązaniami układu równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{ccc} (x-4)^2+y^2&=&16 \\ 4x-3y&=&16 \end{array}\right.}\)
Wychodzi:
\(\displaystyle{ A=\frac{1}{10}(-16,32)}\)
\(\displaystyle{ B=\frac{1}{10}(64,32)}\)
\(\displaystyle{ |OA|=\frac{1}{10}\sqrt{16^2+32^2}=\frac{1}{10}\sqrt{5\cdot 256}}\)
\(\displaystyle{ |OB|=\frac{1}{10}\sqrt{32^2+64^2}=\frac{2}{10}\sqrt{5\cdot 256}}\)
\(\displaystyle{ P_\Delta=\frac{|OA|\cdot |OB|}{2}=\frac{5\cdot 256}{100}=\frac{64}{5}}\)