Przez pkt.M(3,2) poprowadzić prostą l,
-
- Użytkownik
- Posty: 159
- Rejestracja: 6 sie 2008, o 15:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kłodzko
- Podziękował: 47 razy
Przez pkt.M(3,2) poprowadzić prostą l,
Przez pkt.M(3,2) poprowadzić prostą l, tak aby punkt M był środkiem odcinka prostej l zawartego między prostymi y=x i y=2x-3
- bzyk12
- Użytkownik
- Posty: 327
- Rejestracja: 18 lut 2009, o 12:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oświęcim/Wawa
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 43 razy
Przez pkt.M(3,2) poprowadzić prostą l,
po pierwsze narysuj sobie rysunek i zobacz jak to będzie wyglądało. Następnie jak masz już rysunek to wprowadź następujące oznaczenia:
\(\displaystyle{ A=(x _{1},y _{1})}\)- punkt ten leży na prostej y=2x-3
\(\displaystyle{ B=(x _{2},y _{2})}\)-ten leży na prostej y=x
Piszemy warunki:
1)\(\displaystyle{ \left|AM \right|= \left|MB \right|}\)
i ponadto punkt M jest środkiem odcinka AB dlatego:
2)\(\displaystyle{ (3,2)=( \frac{x _{1}+x _{2} }{2}, \frac{y _{1}+y _{2} }{2}) \Rightarrow x _{1}+x _{2}=6 \wedge y _{1}+y _{2}=4}\)
zgodnie z pierwszym piszemy:
\(\displaystyle{ \sqrt{(3-x _{1}) ^{2}+(2-y _{1}) ^{2} } = \sqrt{(3-x _{2}) ^{2}+(2-y _{2}) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ {(3-x _{1}) ^{2}+(2-y _{1}) ^{2} =(3-x _{2}) ^{2}+(2-y _{2}) ^{2}}\)
Teraz w miejsce y1 podstawiasz 2x1-3(bo punkt ten leży na tej prostej), a w miejsce y2 podsawiasz x2
rozwiązujesz i dochodzisz do takiej postaci:
\(\displaystyle{ 5x _{1} ^{2}-26x _{1}+25=2x _{2} ^{2} -10x _{2}+4}\)
teraz korzystasz z drugiego równania :
\(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}=6 \Rightarrow x _{1}=6-x _{2}}\)
podstawiasz do równania i dochodzisz do takiej postaci:
\(\displaystyle{ x _{2} ^{2}-8x _{2}+15=0}\)
\(\displaystyle{ (x _{2}-3)(x _{2}-5)=0}\)
\(\displaystyle{ x _{2}=3 \vee x _{2}=5}\)
i wtedy:
\(\displaystyle{ x _{1}=3 \vee x _{1}=1}\)
trójki odpadają.Zostają nam :
\(\displaystyle{ x _{1}=1 \wedge x _{2}=5}\)a po wstawieniu do równania prostej wychodzi:
\(\displaystyle{ y _{1}=-1 \wedge y _{2} =5}\)
\(\displaystyle{ A=(1,-1) \wedge B=(5,5)}\)
jak teraz postawisz te punkty do ogólnego równania prostej y=ax+b to wychodzi że;
l: \(\displaystyle{ y= \frac{3}{2}x- \frac{5}{2}}\)
czyba nigdzie się nie pomyliłem
\(\displaystyle{ A=(x _{1},y _{1})}\)- punkt ten leży na prostej y=2x-3
\(\displaystyle{ B=(x _{2},y _{2})}\)-ten leży na prostej y=x
Piszemy warunki:
1)\(\displaystyle{ \left|AM \right|= \left|MB \right|}\)
i ponadto punkt M jest środkiem odcinka AB dlatego:
2)\(\displaystyle{ (3,2)=( \frac{x _{1}+x _{2} }{2}, \frac{y _{1}+y _{2} }{2}) \Rightarrow x _{1}+x _{2}=6 \wedge y _{1}+y _{2}=4}\)
zgodnie z pierwszym piszemy:
\(\displaystyle{ \sqrt{(3-x _{1}) ^{2}+(2-y _{1}) ^{2} } = \sqrt{(3-x _{2}) ^{2}+(2-y _{2}) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ {(3-x _{1}) ^{2}+(2-y _{1}) ^{2} =(3-x _{2}) ^{2}+(2-y _{2}) ^{2}}\)
Teraz w miejsce y1 podstawiasz 2x1-3(bo punkt ten leży na tej prostej), a w miejsce y2 podsawiasz x2
rozwiązujesz i dochodzisz do takiej postaci:
\(\displaystyle{ 5x _{1} ^{2}-26x _{1}+25=2x _{2} ^{2} -10x _{2}+4}\)
teraz korzystasz z drugiego równania :
\(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}=6 \Rightarrow x _{1}=6-x _{2}}\)
podstawiasz do równania i dochodzisz do takiej postaci:
\(\displaystyle{ x _{2} ^{2}-8x _{2}+15=0}\)
\(\displaystyle{ (x _{2}-3)(x _{2}-5)=0}\)
\(\displaystyle{ x _{2}=3 \vee x _{2}=5}\)
i wtedy:
\(\displaystyle{ x _{1}=3 \vee x _{1}=1}\)
trójki odpadają.Zostają nam :
\(\displaystyle{ x _{1}=1 \wedge x _{2}=5}\)a po wstawieniu do równania prostej wychodzi:
\(\displaystyle{ y _{1}=-1 \wedge y _{2} =5}\)
\(\displaystyle{ A=(1,-1) \wedge B=(5,5)}\)
jak teraz postawisz te punkty do ogólnego równania prostej y=ax+b to wychodzi że;
l: \(\displaystyle{ y= \frac{3}{2}x- \frac{5}{2}}\)
czyba nigdzie się nie pomyliłem