wykaż, że długości boków trójkąta..

[wojskib]

Wykaż, że jeżeli a, b, c są długościami boków w trójkącie i \(\displaystyle{ \frac{1}{b+c} +\frac{1}{a+c} = \frac{3}{a+b+c}}\) to jeden z kątów trójkąta jest równy 60 stopni

[Sig]

\(\displaystyle{ \frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}=\frac{3}{a+b+c}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a+b+2c}{(b+c)(a+c)}=\frac{3}{a+b+c}}\)
\(\displaystyle{ (a+b+2c)(a+b+c)=3(b+c)(a+c)}\)
\(\displaystyle{ a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+2ac+2bc+2c^2+3ab+3bc+3ac+3c^2}\)
\(\displaystyle{ a^2-ab+b^2-c^2=0}\)
Z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2-2abcos \alpha}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}c^2=a^2+b^2-ab\\c^2=a^2+b^2-2abcos\alpha\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a^2+b^2-ab=a^2+b^2-2abcos\alpha}\)
\(\displaystyle{ ab(2cos\alpha-1)=0}\)
\(\displaystyle{ a,b>0,}\) więc \(\displaystyle{ 2cos\alpha-1=0}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha=60*}\)

[Baca48]

Nie wiem czy takie rozwiązanie jest w pełni poprawne:

Podaną równość możemy przekształcić:

\(\displaystyle{ \frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+c} = \frac{3}{a+b+c}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a+c+b+c}{(b+c)(a+c)} = \frac{3}{a+b+c}}\)

\(\displaystyle{ 3(a+c)(b+c)=(a+b+2c)(a+b+c)}\)

\(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2-ab}\)

Następnie z twierdzenia cosinusów mamy:

\(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2-2abcos\alpha}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ 2cos\alpha = 1}\)

\(\displaystyle{ cos\alpha = \frac{1}{2}}\)

Przy założeniu: \(\displaystyle{ \alpha \in (0;180)}\)

\(\displaystyle{ \alpha = 60}\)

c.n.d.

Pozdrawiam