czworokąt, współrzędne punktów

[iga2106]

Dwa prostopadłe boki czworokąta ABCD mają równe długości i zawierają się w dodatnich półosiach układu współrzędnych. Prosta o równaniu y=2x jest symetralną jednego z boków czworokąta, a punkt A(5,0) - jednym z jego wierzchołków. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków czworokąta.

[Sarrus]

Dwa prostopadłe boki czworokąta ABCD mają równe długości i zawierają się w dodatnich półosiach układu współrzędnych. Prosta o równaniu y=2x jest symetralną jednego z boków czworokąta, a punkt A(5,0) - jednym z jego wierzchołków. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków czworokąta.

%

\(\displaystyle{ Z \ tresci \ zadania \ wynika \ ze \ :}\)

\(\displaystyle{ A \left( 5 \ ; \ 0 \right)}\)

\(\displaystyle{ B \left( x_{B} \ ; \ y_{B} \right)}\)

\(\displaystyle{ C \left( 0 \ ; \ 5\right)}\)

\(\displaystyle{ D \left( 0 \ ; \ 0 \right)}\)

\(\displaystyle{ Wiemy \ ze \ symetralna \ odcinka \ CB \ jest \ prosta \ : \ y \ = \ 2x \ ;}\)

\(\displaystyle{ wyprowadzamy \ wiec \ rownanie \ prostej \ prostopadlej \ do \ : \ y \ = \ 2x \ ;}\)

\(\displaystyle{ przechodzacej \ przez \ punkt \ C \ .}\)

\(\displaystyle{ Jest \ to \ prosta \ : \ y \ = \ -\frac {1}{2}x \ + \ 5 \ ; \ ktora \ otrzymujemy \ poprzez}\)

\(\displaystyle{ skorzystanie \ z \ warunku \ prostopadlosci \ prostych \ :}\)

\(\displaystyle{ \left( wspolczynnik \ kierunkowy _{1} \right) \cdot \left( wspolczynnik \ kierunkowy _{2} \right) \ = \ -1}\)

\(\displaystyle{ i \ zauwazenie \ ze \ wyrazem \ wolnym \ jest \ b \ = \ 5 \ .}\)

\(\displaystyle{ W \ celu \ wyliczenia \ wspolrzednych \ punktu \ B \ obliczymy \ wspolrzedne \ srodka \ odcinka}\)

\(\displaystyle{ CB \ , \ rozwiazujac \ uklad \ rownan \ :}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y \ = \ 2x \\ y \ = \ -\frac {1}{2}x \ + \ 5 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ x \ = \ 2 \ ; \ y \ = \ 4 \ ;}\)

\(\displaystyle{ Wowczas \ mozemy \ skorzystac \ ze \ wzoru \ :}\)

\(\displaystyle{ S_{CB} \ = \ \left( \frac {x_{C} \ + \ x_{B} }{2} \ ; \ \frac {y_{C} \ + \ y_{B}}{2} \right)}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \ 2 \ = \ \frac {x_{B}}{2} \ ; \ 4 \ = \ \frac {5 \ + \ y_{B}}{2}}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \ x_{B} \ = \ 4 \ \wedge \ y_{B} \ = \ 3}\)
_____________________________

\(\displaystyle{ Wiec \ wierzcholki \ czworokata \ ABCD \ maja \ wspolrzedne \ :}\)


\(\displaystyle{ B \left( 4 \ ; \ 3 \right)}\)

\(\displaystyle{ C \left( 0 \ ; \ 5 \right)}\)

\(\displaystyle{ D \left( 0 \ ; \ 0 \right)}\)

__________

[iga2106]

dziękuję bardzo

[Sarrus]

dziękuję bardzo

%

\(\displaystyle{ Cala \ przyjemnosc \ jest \ po \ mojej \ stronie \ .}\)