Mam punkt w ukl wsp... powiedzmy [2, 1], od niego prowadze odcinek do punktu [0, 0] i mam tam kąt z osia OX...
Nie moge dojsc jak przesunac ten punkt o 30 stopni w gore, a raczej nie punkt a ten odcinek (nie zmieniajac jego dlugosci).
Problem z przeksztalceniem punktu
-
Poodzian
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 11 paź 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 62 razy
Problem z przeksztalceniem punktu
Bym zaczął od wyznaczenia równania prostej, na której leżą środek układu współrzędnych oraz dany punkt
Wiadomo, każda prosta ma swoją ogólną postać \(\displaystyle{ y=ax+b}\)
Skoro nasza przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (0; 0)}\), to \(\displaystyle{ b=0}\) i pozostaje do wyznaczenia współczynnik kierunkowy \(\displaystyle{ a}\) - ten ze współrzędnych danego w zadaniu punktu
\(\displaystyle{ 1=2a+b}\)
\(\displaystyle{ 1=2a}\), co daje \(\displaystyle{ a=\frac{1}{2}}\) i prostą \(\displaystyle{ y=\frac{x}{2}}\)
Każda prosta ma tę własność, że \(\displaystyle{ \tan \alpha =a}\), gdzie alfa jest kątem między osią poziomą a tą prostą
Zatem \(\displaystyle{ \tan \alpha = \frac{1}{2}}\) i to właśnie \(\displaystyle{ \alpha}\) powiększony o \(\displaystyle{ 30^{0}}\) da nam nowy tangens, a zarazem nową wartość współczynnika kierunkowego nowej prostej
Z wykorzystaniem wzoru na sumę kątów w tangensie:
\(\displaystyle{ a=\tan (\alpha +30^{0})=\frac{\tan \alpha + \tan 30^{0}}{1-\tan \alpha \cdot \tan 30^{0}}}\)
I podstawiając wartości:
\(\displaystyle{ a=\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}=
\frac{\frac{3}{6}+\frac{2\sqrt{3}}{6}}{\frac{6}{6}-\frac{\sqrt{3}}{6}}=
\frac{3+2\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{6}{6-\sqrt{3}}=\frac{3+2\sqrt{3}}{6-\sqrt{3}}}\), a po usunięciu niewymierności z mianownika:
\(\displaystyle{ a=\frac{24+9\sqrt{3}}{33}=\frac{8+3\sqrt{3}}{11}}\)
I to jest właśnie współczynnik kierunkowy nowej prostej, na której ma leżeć przesunięty punkt (a skoro ma ona przechodzić przez środek układu współrzędnych, to \(\displaystyle{ b=0}\)) - ostatecznie nowa prosta:
\(\displaystyle{ y=\frac{(8+3\sqrt{3})x}{11}}\)
Teraz już tylko trzeba znać odległość początkowego punktu \(\displaystyle{ (2; 1)}\) od środka układu współrzędnych \(\displaystyle{ (0; 0)}\)
Odpowiedni wzór lub z bezpośrednio twierdzenia Pitagorasa i wychodzi \(\displaystyle{ d=\sqrt{5}}\)
Szukamy takiego \(\displaystyle{ x}\) (pierwszej współrzędnej przesuniętego punktu), dla którego odległość od początku układu będzie równa wyliczonej powyżej (tu już trzeba ze wzoru na odległość dwóch punktów):
\(\displaystyle{ \sqrt{5}=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}}\), zaś za \(\displaystyle{ y}\) wyznaczony wzór nowej prostej: \(\displaystyle{ \sqrt{5}=\sqrt{x^2+\left(\frac{(8+3\sqrt{3})x}{11}\right)^{2}}}\)
Cóż, przyjemnego liczenia
Powinny wyjść dwie różne wartości \(\displaystyle{ x}\) - jedną z nich będzie trzeba jednak odrzucić - którą? Można odpowiedzieć na to pytanie po sporządzeniu schematycznego rysunku
PS: Punkty oznaczaj jako \(\displaystyle{ (a; b)}\)
Oznaczenia w nawiasach kwadratowych: \(\displaystyle{ [a; b]}\) funkcjonują dla wektorów
Wiadomo, każda prosta ma swoją ogólną postać \(\displaystyle{ y=ax+b}\)
Skoro nasza przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (0; 0)}\), to \(\displaystyle{ b=0}\) i pozostaje do wyznaczenia współczynnik kierunkowy \(\displaystyle{ a}\) - ten ze współrzędnych danego w zadaniu punktu
\(\displaystyle{ 1=2a+b}\)
\(\displaystyle{ 1=2a}\), co daje \(\displaystyle{ a=\frac{1}{2}}\) i prostą \(\displaystyle{ y=\frac{x}{2}}\)
Każda prosta ma tę własność, że \(\displaystyle{ \tan \alpha =a}\), gdzie alfa jest kątem między osią poziomą a tą prostą
Zatem \(\displaystyle{ \tan \alpha = \frac{1}{2}}\) i to właśnie \(\displaystyle{ \alpha}\) powiększony o \(\displaystyle{ 30^{0}}\) da nam nowy tangens, a zarazem nową wartość współczynnika kierunkowego nowej prostej
Z wykorzystaniem wzoru na sumę kątów w tangensie:
\(\displaystyle{ a=\tan (\alpha +30^{0})=\frac{\tan \alpha + \tan 30^{0}}{1-\tan \alpha \cdot \tan 30^{0}}}\)
I podstawiając wartości:
\(\displaystyle{ a=\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}=
\frac{\frac{3}{6}+\frac{2\sqrt{3}}{6}}{\frac{6}{6}-\frac{\sqrt{3}}{6}}=
\frac{3+2\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{6}{6-\sqrt{3}}=\frac{3+2\sqrt{3}}{6-\sqrt{3}}}\), a po usunięciu niewymierności z mianownika:
\(\displaystyle{ a=\frac{24+9\sqrt{3}}{33}=\frac{8+3\sqrt{3}}{11}}\)
I to jest właśnie współczynnik kierunkowy nowej prostej, na której ma leżeć przesunięty punkt (a skoro ma ona przechodzić przez środek układu współrzędnych, to \(\displaystyle{ b=0}\)) - ostatecznie nowa prosta:
\(\displaystyle{ y=\frac{(8+3\sqrt{3})x}{11}}\)
Teraz już tylko trzeba znać odległość początkowego punktu \(\displaystyle{ (2; 1)}\) od środka układu współrzędnych \(\displaystyle{ (0; 0)}\)
Odpowiedni wzór lub z bezpośrednio twierdzenia Pitagorasa i wychodzi \(\displaystyle{ d=\sqrt{5}}\)
Szukamy takiego \(\displaystyle{ x}\) (pierwszej współrzędnej przesuniętego punktu), dla którego odległość od początku układu będzie równa wyliczonej powyżej (tu już trzeba ze wzoru na odległość dwóch punktów):
\(\displaystyle{ \sqrt{5}=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}}\), zaś za \(\displaystyle{ y}\) wyznaczony wzór nowej prostej: \(\displaystyle{ \sqrt{5}=\sqrt{x^2+\left(\frac{(8+3\sqrt{3})x}{11}\right)^{2}}}\)
Cóż, przyjemnego liczenia
Powinny wyjść dwie różne wartości \(\displaystyle{ x}\) - jedną z nich będzie trzeba jednak odrzucić - którą? Można odpowiedzieć na to pytanie po sporządzeniu schematycznego rysunku
PS: Punkty oznaczaj jako \(\displaystyle{ (a; b)}\)
Oznaczenia w nawiasach kwadratowych: \(\displaystyle{ [a; b]}\) funkcjonują dla wektorów