Oś symetrii trapezu

[Kasiaczek]

W trapezie równoramiennym ABCD dane są współrzędne końców jednego z ramion A=(-4;4) i D=(1;4) oraz równanie prostej l: x-y-1=0, która jest osią symetrii trapezu.
a) Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków trapezu ABCD
b) Oblicz pole trapezu ABCD
c) Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na trapezie ABCD i oblicz długość prmonienia tego okręgu
Proszę o pomoc:D

[piotrekgabriel]

a)
I. sposób: Przekształcić A, D w symetrii osiowej względem prostej \(\displaystyle{ l}\).
II. sposób (którym się zajmę): porównać wektory:

Wektor \(\displaystyle{ \vec{DE}}\) jest równy wektorowi \(\displaystyle{ \vec{EC}}\) i jest prostopadły do \(\displaystyle{ l}\). Analogicznie wektor \(\displaystyle{ \vec{AF}}\).

1. Prosta \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\) jest zawsze prostopadla do wektora \(\displaystyle{ \vec{v}=[A,B]}\). Stąd wiemy, że wektor \(\displaystyle{ \vec{DE}}\) jest jakąś wielokrotnością wektora \(\displaystyle{ \vec{v}=[1,-1]}\) liczysz odległość punktu D od prostej l. (na dobrą sprawę, zamiast tego można wyczytać z wykresu, że wektor \(\displaystyle{ \vec{DE}=[2,-2]}\))
2. Mnożymy ten wektorek przez dwa i przesuwamy punkt D o ten wektor
3. To samo robimy z punktem A i wektorem \(\displaystyle{ \vec{AF}}\)

b) Wyliczasz |AB|,|CD|,|EF| (lub odczytujesz z wykresu) i masz wszystkie dane do policzenia pola

c) Okrąg opisany na tym trapezie jest też opisany na dowolnym z trójkątów ABC, ABD, ACD, BCD. Weźmy ABD.
1. Środek okręgu opisanego leży na przecięciu symetralnych boków. Symetralną AB już mamy (jest nią l), więc musimy wyliczyć jeszcze jedną - niech to będzie prosta k, symetralna AD.
2. Od biedy to też można odczytać z wykresu, ale jeśli wolisz liczyć, zastosuj wzór na prostą prostopadłą do wektora (vide 1. na górze), a potem ze wzoru na odległość punktu od prostej zrównaj odległość k od A i od D.
3. Porównaj k i l, ich przecięcie do środek okręgu - nazwijmy go S
4. Promień jest równy |SA|, na przykład