Przecinające się okręgi

daro256 · Post autor: **daro256** » 30 mar 2009, o 01:13

Witam wszystkich !

Problem który przedstawię teoretycznie rozwiązałem, ale moje rozwiązanie jest zbyt skomplikowane jak na mój gust
Dlatego zwracam się do was, na pewno znacie jakąś zależność matematyczną która jest mi obca, a znacznie upraszcza sprawę.

Na początek wspomnę że rozwiązanie ma być wykorzystane w programie komputerowym więc operujemy na zmiennych, nie na liczbach.

Proszę spojrzeć na obrazek pod tym adresem
Znając współrzędne środków okręgów i ich promienie, należy wyznaczyć współrzędne punktów P1 i P2 oraz równanie prostej (najlepiej w postaci y=ax+b) przechodzącej przez te punkty.

Z góry dziękuję za pomoc

6hokage · Post autor: **6hokage** » 30 mar 2009, o 01:39

daro256 · Post autor: **daro256** » 30 mar 2009, o 12:05

6hokage · Post autor: **6hokage** » 30 mar 2009, o 13:57

Napisałem to, żebym mógł znaleźć ten temat w swoich postach. Sam pracuję nad krótkim rozwiązaniem tego problemu i jestem ciekaw co wymyslą inni.

daro256 · Post autor: **daro256** » 31 mar 2009, o 00:11

Co jest...? Nikt nie potrafi tego rozwiązać ?

To może napiszę jak ja to zrobiłem i ktoś ulepszy mój sposób

A więc tak:
1. Najpierw ustaliłem równanie prostej łączącej środki okręgów (prosta przechodząca przez dwa punkty)

2. Następnie wyznaczyłem długość odcinka leżącego na tej prostej, który "należy" do dwóch okręgów.
(odległosc_miedzy_srdkami - ((odleglosc_miedzy_srodkami-r1) + (odleglosc_miedzy_srodkami-r2)))

3. Kolejnym krokiem było wyliczenie odległości między środkiem jednego z okręgów a punktem leżącym na prostej łączącej środki oraz prostej przechodzącej przez punkty przecięcia okręgów. Aby to zrobić musiałem najpierw wyliczyć jak owa prosta dzieli odcinek z podpunktu 2. Okazało się że stosunek promieni okręgów miał kluczowe znaczenie.

4. Przyszła kolej na wyliczenie współrzędnych punktu leżącego na prostej łączącej środki i na prostej przecinającej okręgi. Było to możliwe dzięki rozwiązaniu układu równań. Jednym równaniem była prosta łącząca środki, drugim równaniem była odległość wyliczona w punkcie 3.

5. Mając współrzędne mogłem wyliczyć równanie prostej przecinającej okręgi z kolejnego układu równań. Pierwsze równanie to prosta łącząca okręgi, drugie równanie to prosta prostopadła do niej. Podstawiając za x i y współrzędne punktu można było wyznaczyć współczynniki a i b.

6. Następnie wyliczyłem odległość między punktem leżącym na prostej łączącej środki i prostej przecinającej okręgi (prostopadłej) a jednym z punktów przecięcia okręgów. Było to możliwe za pomocą trójkąta prostokątnego którego przeciwprostokątna to promień okręgu, jedna z przyprostokątnych ma długość promienia powiększonego o odpowiednią część odcinka z punktu 2. A druga przyprostokątna to szukana wartość.

7. Znając równanie prostej przecinającej okręgi i odległość od punktów przecięcia od prostej łączącej środki okręgów mogłem z odpowiedniego układu równań wyliczyć współrzędne tych punktów.

Jak widać jest to dosyć zawiła metoda. Pytanie brzmi, czy da się to zrobić prościej ?

6hokage · Post autor: **6hokage** » 31 mar 2009, o 13:11

Robiłem podobnie, ale ty pytałeś się o krótkie rozwiązanie, a takiego jak widać nikt do tej pory nie znalazł. Może inni tak jak ja nie mieli czasu, albo ochoty nad tym mysleć. Nie jest też wykluczone, że nie da się tego znacznie krócej rozwiazać.

daro256 · Post autor: **daro256** » 31 mar 2009, o 15:01

Da się bo właśnie rozwiązałem
Wystarczył układ dwóch równań (równań okręgów) do wyznaczenia współrzędnych punktów. Mając współrzędne punktów, wyznaczenie prostej przechodzącej przez nie to żaden problem.

6hokage · Post autor: **6hokage** » 31 mar 2009, o 15:34

A mógłbys napisać jak, bo ja korzystałem z równań
\(\displaystyle{ (x_1-x) ^{2} +(y_1-y) ^{2} =R ^{2}}\)
\(\displaystyle{ (x_2-x) ^{2} +(y_2-y) ^{2} =r ^{2}}\) i jakoś mi nie wychodzi.

-- 31 mar 2009, o 15:46 --

Już wiem jak to mozna rozwiązać, ale napisz swój sposób, może jest lepszy. Ja odjąłem drugie od pierwszego i przy użyciu wzoru na róznicę kwadratów wyznaczyłem x w zależności od y, potem podstawiłem do drugiego, wyszło kwadratowe dla y. Reszty się domyslisz.

daro256 · Post autor: **daro256** » 31 mar 2009, o 15:59

Po pierwsze masz błąd. W nawiasach powinno być np. (x - x1).
Po drugie nie chce mi się pisać całości rozwiązania więc opiszę w podpunktach

1. Szukamy x i y, zmienne x1,y1,x2,y2 są nam znane (współrzędne okręgów), podobnie jak promienie.
Jako że w równaniach mamy kwadraty więc dla każdej zmiennej będą dwa rozwiązania.

2. Wyznaczamy np z pierwszego równania x1. Wyjdą dwa rozwiązania (jest to pewne więc sprawdzanie delty itp jest niepotrzebne).

3. Pierwszą wartość x1 podstawiamy do drugiego równania i wyznaczamy y, potem to samo robimy z drugą wartością. Tym samym otrzymujemy 2 wartości y.

4. Mamy dwie wartości x i dwie wartości y, czyli współrzędne dwóch punktów

Wyznaczania równania prostej przechodzącej przez dwa punkty chyba nie muszę opisywać...

6hokage · Post autor: **6hokage** » 31 mar 2009, o 16:04

Czekaj zaraz odpowiem tylko jeszcze raz przeczytam, bo chyba żle się zrozumiałem.-- 31 mar 2009, o 16:10 --Kolejność w różnicy X1-X nie ma znaczenia bo nie wiesz co jest wyżej, a co niżej, a i tak wszystko jest w kwadracie. Jak wyznaczyłeś x z pierwszego równania, chyba musiałeś zpierwiastkować, tylko że wtedy będzie pierwiastek w równaniu dla y.