1.Prosta k przechodzi przez punkt A=(3;2) i przecina dodatnie półosie ukł.współrzędnych w takich punktach że iloczyn ich odległości od punktu (0;0) wynosi 25.Znajdź równanie prostej k.
2.Dane są punkty A=(4;5) B=(-4;-1) i prosta k o równaniu x-3y-9=0:
a)Na prostej k znajdź punkt C jednakowo oddalony od punktów A i B.
b)Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt A i nachylonej do osi OX pod kątem dwa razy większym niż prosta k.
Jak możecie to pomóżcie
2 Zadanka z równaniem prostej
-
Yaco_89
- Użytkownik
- Posty: 992
- Rejestracja: 1 kwie 2008, o 00:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tychy/Kraków
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 204 razy
2 Zadanka z równaniem prostej
ach, analityczna na płaszczyźnie, mój konik z liceum... pozwolisz że podam tylko metody bez obliczania wyników:
1. Prosta ma równanie y=ax+b. Oczywiście przecina oś Y w punkcie (0,b). W takim razie odległość punktu przecięcia od (0,0) jest równa b. Następnie zauważamy, że punktem przecięcia z osią X jest punkt (x0,0), a z danych wynika że x0=25/b, i jest to miejsce zerowe naszej funkcji. Czyli znamy dwie wartości funkcji dla dwóch argumentów. Podstawiamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3a+b=2 \\ a \cdot \frac{25}{b}+b=0 \end{cases}\\
\begin{cases} a= \frac{2-b}{3} \\ 25a=-b ^{2} \end{cases}}\)
dalej podstawiasz za a i rozwiązujesz równanie kwadratowe względem b, wyjdą chyyba 2 rozwiązania, ale zauważamy że b musi być większe od 0 bo inaczej prosta nie przecinałaby dodatnich półosi układu. Miłych rachunków
2. a) Tutaj można zastosować wzór na długość wektora:
\(\displaystyle{ C=(x,y)\\
\vec{AC}= \vec{BC} \\
\sqrt{(x-4) ^{2}+(y-5) ^{2}}=\sqrt{(x+4) ^{2}+(y+1) ^{2}}}\)
następnie podnosimy obie strony do kwadratu i podstawiamy np. za x 3y+9 (ze wzoru prostej). Chyba że jest tu jakiś "myk" który pozwalałby obliczyć do szybciej ale ja go niestety chwilowo nie widzę
b)Korzystamy z faktu, że tangens kąta nachylenia prostej do OX jest równy jej współczynnikowi kierunkowemu. Najpierw sprowadzamy równanie prostej k do postaci kierunkowej:
\(\displaystyle{ y= \frac{x}{3}-3}\)
skąd otrzymujemy \(\displaystyle{ tg \alpha = 1/3}\)
a następnie korzystamy z wzoru
\(\displaystyle{ tg2 \alpha = \frac{2tg \alpha }{1-tg ^{2} \alpha }}\)
z niego wyliczamy współczynnik kierunkowy szukanej prostej, nazwijmy go a1, a żeby znaleźć drugi współczynnik b1 wykorzystamy fakt że prosta przechodzi przez punkt a:
\(\displaystyle{ 4a _{1}+b=5}\)
no a to już jest prościutkie równanko
1. Prosta ma równanie y=ax+b. Oczywiście przecina oś Y w punkcie (0,b). W takim razie odległość punktu przecięcia od (0,0) jest równa b. Następnie zauważamy, że punktem przecięcia z osią X jest punkt (x0,0), a z danych wynika że x0=25/b, i jest to miejsce zerowe naszej funkcji. Czyli znamy dwie wartości funkcji dla dwóch argumentów. Podstawiamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3a+b=2 \\ a \cdot \frac{25}{b}+b=0 \end{cases}\\
\begin{cases} a= \frac{2-b}{3} \\ 25a=-b ^{2} \end{cases}}\)
dalej podstawiasz za a i rozwiązujesz równanie kwadratowe względem b, wyjdą chyyba 2 rozwiązania, ale zauważamy że b musi być większe od 0 bo inaczej prosta nie przecinałaby dodatnich półosi układu. Miłych rachunków
2. a) Tutaj można zastosować wzór na długość wektora:
\(\displaystyle{ C=(x,y)\\
\vec{AC}= \vec{BC} \\
\sqrt{(x-4) ^{2}+(y-5) ^{2}}=\sqrt{(x+4) ^{2}+(y+1) ^{2}}}\)
następnie podnosimy obie strony do kwadratu i podstawiamy np. za x 3y+9 (ze wzoru prostej). Chyba że jest tu jakiś "myk" który pozwalałby obliczyć do szybciej ale ja go niestety chwilowo nie widzę
b)Korzystamy z faktu, że tangens kąta nachylenia prostej do OX jest równy jej współczynnikowi kierunkowemu. Najpierw sprowadzamy równanie prostej k do postaci kierunkowej:
\(\displaystyle{ y= \frac{x}{3}-3}\)
skąd otrzymujemy \(\displaystyle{ tg \alpha = 1/3}\)
a następnie korzystamy z wzoru
\(\displaystyle{ tg2 \alpha = \frac{2tg \alpha }{1-tg ^{2} \alpha }}\)
z niego wyliczamy współczynnik kierunkowy szukanej prostej, nazwijmy go a1, a żeby znaleźć drugi współczynnik b1 wykorzystamy fakt że prosta przechodzi przez punkt a:
\(\displaystyle{ 4a _{1}+b=5}\)
no a to już jest prościutkie równanko
2 Zadanka z równaniem prostej
A mogłbyś zrobić sam i dac mi wyniki to wtedy porownamy bo mi wychodzi b=25/3 i x0=3 ale później jak wstawiam do równania to wychodzi niezgodnie z odpowiedziami???